• قانون اول: اثر غیر مستقیم یک مسیر از متغیر علت X به متغیر معلول Y که با (I(x,y نمایش داده می­ شود، مثبت است اگر تعداد پیکان­های دارای علامت منفی، زوج باشند. اثر غیر مستقیم متغیر X بر متغیر Y از طریق مسیر( P(xwy در شکل۲ مثبت خواهد بود.
• قانون دوم: اثر کلی متغیر علت X بر متغیر معلول Y به صورت (T(x,y نمایش داده می­ شود و حاصل جمع تمامی اثرات غیرمستقیم از متغیر X به متغیر Y می‌باشد. در شکل (۲-۱۶) این اثر کلی حاصل جمع اثرات دو مسیر P(xwy) و ) P(xfzy است که با توجه به مثبت بودن اثرات هر دو مسیر، اثر کلی نیز مثبت خواهد بود.
اکسلراد نمایش ماتریسی (ماتریس مجاورت) نگاشت­های ادراکی را ابداع کرد. مرکزیت ادراکی علی در نگاشت­های ادراکی را می‌توان با مؤلفه­ های ماتریس مجاورت تعریف کرد. به اعتقاد وی پشت هر مقاله و نطق سیاسی یک نگاشت­ ادراکی قرار دارد [۵].
۲-۹- نگاشت­های ادراکی فازی
با توجه به کیفی بودن حیطه نگاشت­های ادراکی و از سوی دیگر با در نظر گرفتن توان کمی­سازی منطق فازی، کاسکو^[۲۵] نگاشت­های ادراکی فازی با وزن­های فازی را معرفی می­ کند [۱۰]. بر مبنای تعریف کاسکو، این نگاشت یک نمودار گرافیکی هدایت شده با هدف نمایش روابط علت و معلولی میان عوامل است که رابطه میان هر یک جفت عامل در این مدل با عددی در بازه [۱و۱-] مشخص می­ شود [۷۳]. یعنی اگر قواعد نگاشت­های ادراکی، با هر عددی بین صفر و یک (یا بین منهای یک و یک) سنجیده شوند یا از کلمات وزنی، ‌مانند «کمی»، «مقداری» یا «بیشتر یا کمتر» استفاده شود، نگاشت­های ادراکی به نگاشت ادراکی فازی تبدیل می­ شود [۷۴]. ایجاد یک مدل نگاشت­ ادراکی فازی نیازمند ورودی­هایی است که از تجارب و دانش افراد خبره در موضوع مورد نظر به دست می ­آید. بنابراین در مدل­های نگاشت­ ادراکی فازی تجارب انباشته شده افراد با دانش موجود در حوزه­ای که مدل برای آن ترسیم شده است یکپارچه می­ شود و بر مبنای آن‌ ها روابط علت و معلولی میان عوامل تشکیل دهنده سیستم، شکل می­گیرد [۷۵].

نگاشت­های ادراکی فازی یک روش محاسباتی نرم برای مدل کردن سیستم­ها است. نگاشت­های ادراکی فازی، ساختارهای نموداری فازی برای نشان دادن استدلال علی هستند و فازی بودن آن‌ ها درجات مبهمی از علیت بین مفاهیم را نشان می­دهد [۱۲]. یک نگاشت ادراکی فازی، تصویری علّی رسم می­ کند. این نگاشت، حقایق، اشیاء و فرآیندها را به ارزش­ها، سیاست­ها و اهداف ارتباط می­دهد. به شما اجازه می­دهد تا چگونگی اعمال متقابل و نحوه­ عملکرد حوادث پیچیده را پیش­گویی کنید [۵۹]. اگر عوامل موثر بر یک هدف خاص را با نگاشت­ ادراکی فازی نشان دهیم، با شناسایی مسیر حیاتی می­توان عوامل آن مسیر را به عنوان عوامل حیاتی موفقیت در نظر گرفت. همچنین با کمک این روش، تصویری کلی از روابط بین عوامل حیاتی موفقیت نشان داده می­ شود و تأثیر عوامل حیاتی موفقیت به اهداف سازمان مورد ارزیابی قرار می­گیرد. در زیر به برخی از ویژگی­های اصلی نگاشت­ ادراکی فازی معرفی می­ شود:

• • نگاشت­ ادراکی فازی یک روش محاسباتی نرم برای مدل کردن سیستم­ها است که به صورت همزمان تئوری­های شبکه ­های عصبی و منطق فازی را ترکیب کرده و بکار برده است [۱۲].

• • نگاشت­ ادراکی فازی ساختارهای نموداری فازی برای نشان دادن استدلال علی هستند و فازی بودن آنها درجات مبهمی از علیت بین مفاهیم را نشان می­دهد [۱۲].

• • مدل نگاشت­ ادراکی فازی یک استنتاج نمایشی است که ارائه دهنده ویژگی­های یک سیستم است. در این مدل پویایی یک سیستم به وسیله شبیه­سازی تعاملات بین مفاهیم و عوامل موجود در آن نمایش داده می­ شود. مدل نگاشت­ ادراکی فازی برای نمایش هر دو نوع داده ­های کمی و کیفی مورد استفاده قرار می­گیرد [۷۵].

• • یک نگاشت­ ادراکی فازی ، تصویری علّی رسم می­ کند. این نگاشت حقایق، اشیاء و فرآیندها را به ارزش­ها، سیاست­ها و اهداف ارتباط می­دهد. به شما اجازه می­دهد تا چگونگی اعمال متقابل و نحوه­ عملکرد حوادث پیچیده را پیش­گویی کنید و به شما امکان تحلیل بر مبنای «چه می­ شود ـ اگر» را می­ دهند [۵۹].

در ایجاد نگاشت ادراکی فازی از متغیرهای زبانی می­توان به طور مستقیم در نمایش آن استفاده کرد. [۷۶].
در نگاشت ادراکی فازی گره­ها یا ملاحظات نیز فازی هستند و هر گره می ­تواند از ۰% تا ۱۰۰% برانگیخته شود. به عبارتی هر گره یک مجموعه فازی است [۵۹]. میزان روابط علی بین مفاهیم را می­توان با ماتریسی نشان داد که به آن ماتریس مجاورت می­گویند. در شکل (۲-۱۸) نمونه ­ای از این گراف به همراه ماتریس مجاورت آن مشاهده می­ شود.

مقدار زباله در محل
تعداد افراد در یک شهر
امکانات بهداشتی
باکتری در هر واحد سطح
تعداد بیماری
امراض
مهاجرت به شهر
مدرنیزاسیون

شکل (۲-۱۸): مثالی برای مدل نگاشت ادراکی فازی و ماتریس مجاورت آن [۷۷]
مکانیزم استنتاج یک نگاشت ادراکی فازی به این صورت است که در ابتدا یک نگاشت ادراکی فازی ارزش­گذاری اولیه می­ شود. سطح فعال­سازی هر گره از سیستم، بر اساس نظر کارشناس راجع به حالت کنونی، مقداری خاص می­گیرد. سپس مفاهیم مختلف در اثرگذاری متقابل آزاد هستند. فعال­سازی یک گره روی گره­های دیگری که به آن متصل است اثر می­ گذارد. این فعل و انفعال تا زمانی که سیستم به نقطه ثابت تعادل یا یک دور محدود و یا یک رفتار آشوب برسد، ادامه می­یابد و به اصطلاح فرایند تکرار می­ شود [۷۸].
اگر یک نگاشت ادراکی فازی با تعداد n گره  داده شده باشد، مقدار هر گره در هر تکرار می ­تواند به صورت زیر محاسبه شود [۷۸] :
(۲-۵)
جایی که  ، مقدار مفهوم  در زمان t و  مقدار مفهوم  در زمان t-1،  متناظر با وزن فازی بین دو گره و f تابع آستانه­ای است که نتیجه ضرب را تبدیل به عددی در بازه [۱و۰] می­ کند. تابع غیر خطی f به مفهوم فعال­سازی اجازه می­دهد تا مقداری مجاز بگیرد. تابع f انواع گوناگونی دارد که به صورت معادلات (۲-۶)، (۲-۷)، (۲-۸) و (۲-۹) است [۷۸]:

• • دو ظرفیتی:

(۲-۶)
 

• • سه ظرفیتی :

(۲-۷)

• • لجستیک :

(۲-۸)

• • S مانند:

(۲-۹)
رایج­ترین تابع آستانه­ای، تابع لجستیک است که در آن  ، تعیین کننده شیب تابع پیوسته f می­باشد. تسادیراس^[۲۶] تأثیر توانایی­های توابع آستانه­ای دو ظرفیتی^[۲۷]، سه ظرفیتی^[۲۸] و سیگموید^[۲۹] را در نگاشت ادراکی فازی مقایسه کرده است و راهنمایی­هایی را به کاربران نگاشت ادراکی فازی می­دهد تا مناسب­ترین نوع آن را در نگاشت ادراکی فازی خود انتخاب کنند [۷۸]. نکته کلیدی این است که نگاشت­های ادراکی فازی به واسطه بازخور رشد می­ کنند. کار نگاشت­های ادراکی فازی مانند متخصصانی است که با برنامه ­های رایانه­ای در رابطه با هوش مصنوعی، همراه با زنجیره­های طولانی قوانین اگر ـ آنگاه عمل می­ کنند. نگاشت­های ادراکی فازی را می­توان همچون یک شبکه عصبی در نظر گرفت و از آن یک سیستم دینامیکی ساخت که در آن شبکه امکان بررسی دوباره­ی اطلاعات و گردش آن،‌ همانند حافظه تداعی کننده­ دو جهتی، وجود دارد. در این سیستم امکان رسیدن و همگرا شدن به یک نقطه، و همچنین رسیدن به حالت تعادل، امکان­ پذیر است [۵۹].
جدول۲- ۱- مقالاتی که با بهره گرفتن از رویکرد نگاشت ادراکی فازی در حوزه مدیریت و صنایع در خارج از کشور ارائه شده اند.