(۵-۱۶)

برای رسیدن به رابطه‎ای شامل تاثیرات غیرخطی در معادله حالت، بایستی تغییرات حجمی یا ترمودینامیکی ماده را از تغییرات فرمی ناشی از تحمل تنش‎های اعوجاجی و برشی آن جدا کرد. بدین منظور مناسب است که در ماده ارتوتروپیک الاستیک با رفتار غیرخطی تغیرات کرنش را به‎صورت جمع دو مولفه‎ی متوسط و اعوجاجی نوشت:

(۵-۱۸)

که مولفه تغییرات حجمی و متوسط کرنش برابرند با:
(۵-۱۹)

پس رابطه ۵-۱۶ می‎شود:

(۵-۲۰)
اگر معادلات رابطه تانسوری فوق نوشته و عبارات شامل مولفه‎های حجمی و تغییرفرمی دسته‎بندی شوند:

(۵-۲۱)
حال با تعریف تغییرات نمو فشار بصورت میانگین تغییرات تنش‎های نرمال و جایگزینی روابط فوق در این تعریف می‎شود:

(۵-۲۲)

با نگاهی به ترم اول عبارت فوق و مقایسه با آنچه از ساده‎سازی آن برای مواد ایزوتروپیک بدست می‎آید  ، مدول حجمی موثر ماده ارتوتروپیک که در پاسخ حجمی آن نقش دارد بدینصورت تعریف می‎شود:
(۵-۲۳)

حال برای لحاظ کردن تاثیرات غیرخطی، نقش کرنش حجمی بر فشار در قالب تابع  بیان می‎شود که به موجب آن، رابطه فشار در کلی‎ترین حالت به فرم زیر درمی‎آید:
(۵-۲۴)

یکی از توابعی که به کرات در این مورد برای مواد ایزوتروپیک مورد استفاده قرار می‎گیرد با نام Mie-Grüneisen شناخته می‎شود و بصورت زیر است:
(۵-۲۵)

که تابع گامای آن بدین صورت تعریف می‎شود:

(۵-۲۶)
و توابع فشاری  و انرژی داخلی  بصورت توابعی مشخص از نمودارهای مربوطه می‎باشند.
غالبا دو فرم منتج شده از معادله Mie-Grüneisen برای لحاظ کردن پاسخ حجمی و رفتار غیرخطی ماده ارتوتروپیک مورد استفاده قرار می‎گیرند: معادله شوک و معادله چندجمله‎ای. که فرم معادله چندجمله‎ای بدینصورت است:
(۵-۲۷)

مدل شکست، آسیب و نرم‎شوندگی:
این مدل برای مواد ارتوتروپیک به دو صورت گسیختگی شکننده‎ی ناگهانی در لحظه‎ی شکست^[۱۲۱] و مدل آسیب ارتوتروپیک^[۱۲۲] که مبتنی بر گسیختگی تدریجی ارتوتروپیک پس از شروع شکست می‎باشد و مورد استفاده این تحقیق نیز قرار گرفته، در نرم‎افزار وجود دارد.
الف) معیارهای شکست شکننده براساس ماکزیمم تنش، ماکزیمم کرنش و ماکزیمم تنش/کرنش ماده می‎باشند که می‎توانند مقادیر مختلفی را در جهات اصلی ماده اختیار کنند و شکست زمانی اتفاق می‎افتد که تنش‎ یا کرنش‎های مربوطه به حد ماکزیمم خود برسند.
بعد از وقوع شکست، پروسه رشد آسیب شروع می‎شود و استحکام و سختی سلول‎های زوال‎یافته، بسته به مود ایزوتروپیک یا ارتوتروپیک مدل توسعه‎ی آسیب، تغییر و تحول می‎یابند. در مود پساشکست ایزوتروپیک، سلول‎هایی که دچار شکست شده‎اند تنها قادر به تحمل تنش فشاری حجمی اند و لذا بعد از شروع شکست در آنها، مولفه‎ی تنش راستای شکست بعلاوه‎ی همه مدول‎ها و تنش‎های برشی صفر شده و تحت فشار میانیگن  قرار می‎گیرند. اما برای مود پساشکست اورتوتروپیک، می‎توان علاوه بر جهت شکست، تنش در راستاهای عمود بر آن را نیز صفر قرار داد.
ب) اما واقعیت اینست که مواد کامپوزیتی رفتاری دقیقا شکننده ندارند و پدیده‎ی شکست ناگهانیِ منجر به گسیختگی نهایی که موجب صفر شدن تنش در جهت مربوطه می‎شود، در مورد آنها مطرح نیست. لذا در مدل جاری، ضمن لحاظ نمودن مودهای مختلف شکست که هرکدام در معیار شکست مربوطه ظاهر می‎شوند و توصیف‎گر یک سطح شکست می‎باشند، کاهش تدریجی قابلیت تحمل تنش ماده، از منظر رهیافت نرم‎شوندگی ترک^[۱۲۳] بررسی و مدل می‎شود.
در رابطه با معیاری برای تعیین شروع شکست باید گفت که معیار شکست هشین بصورت گسترده‎ای در پیش‎بینی و مدل‎سازی شکست و آسیب ناشی از بارگذاری ضربه‎ای در کامپوزیت‎ها مورد استفاده قرار می‎گیرد.
اما چون در بارگذاری‎های ضربه‎ای برون صفحه‎ای، مولفه‎های برون صفحه‎ای تنش نیز حائز اهمیت می‎شوند لذا در نرم‎افزار جاری از رابطه بهبودیافته هشین یا چنگ-چنگ بعلاوه معیار جدایش بین لایه‎های هشین بعنوان معیار شکست استفاده می‎شود ]۳۳[ که بدینصورت اند:

(۵-۲۸)
در این رهیافت، مساحت ذیل قسمت نرم‎شوندگی نمودار تنش-کرنش با انرژی شکست  که یک ویژگی مادیست و بیان ریاضی آن بدینصورت می‎باشد، متناسب است(  طول مشخصه سلول در جهت شکست می‎باشد):
(۵-۲۹)

شکل ۵-۵- مساحت نمایانگر انرژی شکست
هنگامی که تنش به مقدار  رسید، کرنش ترک  می‎باشد که با یک شیب خطی افزایش یافته و بطور همزمان، قابلیت تحمل تنش ماده نیز کاهش می‎یابد تا اینکه در  به صفر می‎رسد. لذا کرنش نهایی گسیختگی از رابطه  بدست می‎آید.
ضمن اینکه باتوجه به شکل فوق، شیب خطی قسمت نرم‎شوندگی نمودار نیز برابر  می‎باشد.
پس از شروع شکست و جهت کاهش ماکزیمم تنش قابل تحمل، از رابطه رشد آسیب خطی  بصورت تابعی از کرنش ترک  استفاده می‎شود. واضح است که در ابتدای شکست،  و لذا  و در انتها و هنگامی که سلول هیچگونه استحکامی ندارد  می‎شود. در هر نقطه بین این دو حد نهایی، ماکزیمم تنش قابل تحمل ماده برابر  می‎باشد.
برای هر یک از مولفه‎های تنش، یک مجموعه مستقل  وجود دارد. مثلا معیار شکست برای صفحه  چنین است:

(۵-۳۰)
فصل ششم