بنابراین با حداقل سه بار اندازه ­گیری پشت سر هم و فرض ثابت بودن پارامترها در طول اندازه ­گیری می‌توان به مقدار پارامترهای خطوط و ولتاژ شین وسط در طول اندازه ­گیری دست پیدا کرد. با فرض n بار اندازه ­گیری:

,(‏۳‑۱۱)
با سه بار اندازه ­گیری معادلات به صورت زیر خواهد بود:
(‏۳‑۱۲)
(‏۳‑۱۳)
اگر تعداد اندازه ­گیری­ها از ۳ بیشتر شود تعداد معادلات از مجهولات بیشتر خواهد بود یعنی:
(‏۳‑۱۴)
که در آن ɛ بردار خطا خواهد بود که به دلیل خطای اندازه ­گیری به وجود می ­آید. برای تخمین پارامترها و ولتاژ باید به گونه ­ای عمل شود که بردار خطا حداقل مقدار را داشته ­باشد یعنی:
(‏۳‑۱۵)
در معادله بالا علامت به عنوان عملگر نرم بر روی R^m است. برای حل معادله (۳-۱۴) از روش­های عددی مختلفی همچون گوس_سایدل و نیوتون_رافسون می‌توان استفاده کرد. در این تحقیق از روش نیوتون_رافسون استفاده‌شده است.
جایابی بهینه واحدهای اندازه‌گیری فازوری
پیشرفت سریع سیستم‌های مخابراتی در جهان و ابداع روش اندازه‌گیری فازوری سنکرون به کمک واحد اندازه‌گیری فازوری و استفاده از سیگنال همزمانی موقعیت‌یاب جهانی تحول عظیمی در پایش و کنترل شبکه‌های گسترده و به هم پیوسته قدرت ایجاد کرده است. رشد این فناوری هنوز هم با شتاب قابل‌ملاحظه‌ای ادامه دارد. بطوریکه در آینده نزدیک سیستم سریع کنترل هماهنگ شبکه که قادر به محدودسازی ادامه اغتشاشات وارده و ممانعت از بروز ناپایداری‌هاست، به طور قطع جایگزین روش­های معمول و کم اثر کنترل محلی و امکانات محدود سیستم‌های فعلی برای ایجاد سیستم‌های فراگیر کنترل زمان واقعی و همچنین کنترل­های کندتری نظیر کنترل ثانویه ولتاژ در شبکه‌های قدرت خواهد شد. در گذشته به دلیل مشکلات فنی پیرامون همزمان‌سازی اندازه‌گیری‌های انجام‌شده در نقاط مختلف شبکه، این اندازه‌گیری‌ها فاقد زاویه بود و شامل اندازه ولتاژ و توان تزریقی برخی شین‌ها و اندازه فلوی عبوری بعضی از خطوط می‌شدند. اندازه‌گیری‌های فوق گرچه امکان حل مسئله تخمین حالت را غالباً فراهم می‌سازند، اما بنا بر دلایلی از جمله دوره اندازه‌گیری طولانی و داشتن روابط غیرخطی با متغیرهای حالت سیستم، موجب کندی در زمان اجرای تخمین حالت شده و دقت آن را نیز بعضاً تحت‌الشعاع قرار می‌دهند. گسترش تکنیک‌های همزمان­سازی بین نقاط مختلف، مشکلات فوق را برطرف کرده و منجر به پیدایش واحدهای اندازه‌گیری فازوری شد.
واحد اندازه‌گیری فازوری یک دستگاه نمایش‌دهنده بوده که در اواخر دهه ۱۹۸۰ میلادی ابداع شد. این واحد با بهره گرفتن از سیگنال همزمان­کننده که غالباً از طرف سیستم موقعیت‌یاب جهانی صادر می‌شود، قادر به اندازه‌گیری فازور ولتاژ و فازور جریان خطوط در یک شین است. کاربرد این دستگاه تنها در مقیاس محلی نبوده بلکه در بعد سراسری سیستم نیز دارای کاربردهای فراوان و رو به گسترش است.
در قسمت قبل الگوریتم تخمین حالت-پارامتر سیستم معرفی شد. همانطور که توضیح داده شد با بهره گرفتن از الگوریتم تخمینگر و با بهره گرفتن از بسته­های تخمینگر موجود بر روی سیستم می­توان شبکه قدرت را رویت­پذیر کرد اما باید دقت داشت که به صورت­های مختلفی می­توان این بسته­های تخمینگر را انتخاب نمود. این بسته­ها باید به نحوی انتخاب شوند که تمام شبکه با کمترین تعداد واحد اندازه ­گیری فازوری رویت­پذیر شود. برای این کار باید از الگوریتم بهینه­سازی برای انتخاب بهترین آرایش واحدهای اندازه ­گیری فازوری استفاده کرد. باید دقت داشت که در سیستم­های قدرت از دستگاه­های اندازه ­گیری قدیمی­تر استفاده می­ شود که با درنظرگرفتن آن­ها می­توان به جایابی بهینه واحدهای اندازه ­گیری فازوری پرداخت و تعداد آن­ها را کمتر کرد. اما در این پایان نامه فرض بر این است که تنها با بهره گرفتن از واحدهای اندازه ­گیری فازوری به این جایابی پرداخته می­ شود.
در این فصل به جایابی واحدهای اندازه‌گیری فازوری پرداخته خواهد شد. الگوریتم جایابی بهینه را با دو هدف متفاوت می‌توان اجرا کرد. جایابی بهینه واحد اندازه‌گیری فازوری به منظور:
تخمین حالت سیستم
تخمین حالت و پارامترهای سیستم به طور همزمان
در روش اول ولتاژ تمام شین­های سیستم به همراه پارامترهای برخی از خطوط تخمین زده می­ شود اما در این حالت ضرورتا پارامترهای تمامی خطوط تخمین زده نمی‌شود. اما در روش دوم تمامی پارامترهای سیستم به همراه ولتاژ تمام شین­ها تخمین زده می­ شود. تفاوت روش اول با روش دوم این است که در روش اول تمام پارامترهای سیستم تخمین زده نمی­ شود و ممکن است پارامترهای برخی خطوط نامعلوم باقی بمانند. اما در این روش تعداد واحد اندازه‌گیری فازوری کمتری مورد نیاز خواهد بود. در ادامه به این موضوع بیشتر پرداخته می­ شود.
توصیف کلی الگوریتم جایابی بهینه واحد اندازه‌گیری فازوری
در این فصل قصد داریم تا با بهره گرفتن از یک شبکه کوچک، روش ارائه‌شده برای جایابی بهینه واحد اندازه‌گیری فازوری را توصیف کنیم. همان طور که در قسمت قبل توضیح داده شد، در این الگوریتم مطابق شکل ‏۳‑۴ در هر ۳ شین متصل به هم، بر روی ۲ شین کناری واحد اندازه‌گیری فازوری قرار می­گیرد. شکل ‏۳‑۴ ساختار یک بسته تخمینگر پارامتر-حالت متشکل از دو خط و سه شین را نشان می­دهد. این بسته تخمینگر را بوسیله نام شین­های آن به صورت(S,m,R) نام­گذاری می­کنیم.
R
m
S
L A
L B
شکل ‏۳‑۴: جایگذاری ۲ واحد اندازه‌گیری فازوری بر روی بسته تخمین ۳ تایی شین­ها (بسته تخمینگر)
بنابراین می‌توان به سادگی شین­های سیستم را به بسته‌های تخمینگر تقسیم ­بندی کرد و فقط بر روی  شین­ها واحد اندازه‌گیری فازوری قرار داد؛ اما علاوه بر این موضوع باز هم می‌توان از تعداد واحدهای اندازه‌گیری فازوری کاست. برای این کار باید از همپوشانی بسته‌های تخمینگر استفاده کرد. با یک مثال این موضوع روشن­تر خواهد شد. شبکه ۶ شینه شکل ‏۳‑۵ را در نظر بگیرید. به طور ساده می‌توان گفت برای تخمین پارامترهای شبکه ۶ شینه، با ۴ واحد اندازه‌گیری فازوری می‌توان الگوریتم تخمین پارامتر را پیاده کرد. به عنوان مثال بسته‌های تخمینگر (۳ و ۲ و ۱) و (۶ و ۵ و ۴) را در نظر بگیرید. در این بسته‌های تخمینگر بر روی شین­های ۱، ۳، ۴ و ۶، واحد اندازه‌گیری فازوری قرار خواهد گرفت(شکل ‏۳‑۶)؛ اما با کمی دقت می‌توان مشاهده کرد که می‌توان بسته‌های تخمینگر را طوری انتخاب کرد که با یکدیگر شین مشترک داشته باشند. به عنوان مثال بسته‌های تخمینگر (۴ و ۱ و ۲) و (۲ و ۳ و ۶) و (۶ و ۵ و ۲) را در نظر بگیرید. این سه بسته انتخاب‌شده در شین شماره ۲ اشتراک دارند. در این بسته‌های تخمینگر با قرار دادن واحد اندازه‌گیری فازوری بر روی ۳ شین ۲ و ۴ و ۶ (شین­های ابتدا و انتها) می‌توان الگوریتم را پیاده کرد (شکل ‏۳‑۷). در حالت اول با چهار واحد اندازه‌گیری فازوری و در حالت دوم با سه واحد اندازه‌گیری فازوری می‌توان الگوریتم پیشنهادی را بر روی این سیستم پیاده کرد. همان طور که مشاهده شد می‌توان با همپوشانی بسته‌های تخمینگر تعداد واحدهای اندازه‌گیری فازوری به‌کاررفته را کاهش داد.
با توجه به توضیحات داده‌شده الگوریتم جایابی بهینه واحد اندازه‌گیری فازوری را می‌توان به دو مرحله کلی تقسیم‌بندی کرد.
در مرحله اول اطلاعات مربوط به شین­ها و خطوط شبکه و نحوه اتصال آن‌ ها به هم، به الگوریتم داده‌ شده تا بسته‌های تخمینگر تشکیل ‌شده و برای بهینه‌سازی گروه­بندی شود.
در مرحله دوم با توجه به بسته‌های تشکیل‌شده الگوریتم جایابی بوسیله یک روش بهینه­سازی بسته‌های تخمینگر منتخب را انتخاب کرده که به تبع آن مکان واحدهای اندازه‌گیری فازوری مشخص می­ شود. در ادامه به بررسی این دو مرحله پرداخته می_­شود.
شکل ‏۳‑۵: شبکه ۶ شینه
PMU
شکل ‏۳‑۶: شبکه ۶ شینه با جایابی غیر بهینه واحدهای اندازه‌گیری فازوری
شکل ‏۳‑۷: شبکه ۶ شینه با جایابی بهینه واحدهای اندازه‌گیری فازوری
آماده ­سازی اطلاعات ورودی الگوریتم جایابی بهینه واحد اندازه‌گیری فازوری به منظور تخمین حالت سیستم
بر اساس الگوریتم تخمین پارامتر ارائه‌شده، هر شین به ۲ صورت قابل رویت است و می‌توان ولتاژ آن را بدست آورد. حالت اول هنگامی است که بر روی شین مورد نظر واحد اندازه‌گیری فازوری قرارگرفته باشد که در این حالت ولتاژ شین مورد نظر به صورت مستقیم و با اندازه ­گیری بدست می ­آید. حالت دوم هنگامی است که این شین بین ۲ شین مجهز شده به واحد اندازه‌گیری فازوری قرارگرفته شده باشد که در این حالت نیز ولتاژ این شین بوسیله الگوریتم ارائه‌شده قابل تخمین خواهد بود؛ بنابراین ابتدا لازم است تمامی بسته‌های تخمینگر ۳ تایی که شین مورد نظر را رویت­پذیر می­ کند شناسایی کرد. به عنوان مثال در شبکه شکل ‏۳‑۵ برای رویت­پذیری شین ۱ می‌توان بسته‌های تخمینگر زیر را تشکیل داد:
{ (۱،۴،۵) ، (۵،۲،۱) ، (۱،۲،۳) ، (۶،۲،۱) ، (۴،۲،۱) }= رویت شین ۱ به طور مستقیم (‏۳‑۱۶)
{(۲،۱،۴) }= رویت شین ۱ بوسیله تخمینگر (‏۳‑۱۷)
با اجتماع گیری از دو مجموعه قبل داریم:
{(۲،۱،۴) ، (۱،۴،۵) ، (۵،۲،۱) ، (۱،۲،۳) ، (۶،۲،۱) ، (۴،۲،۱) }= مجموعه بسته­های تخمینگر شین ۱ (‏۳‑۱۸)
در این بسته‌های تخمینگر بر روی شین­های کناری واحدهای اندازه‌گیری فازوری قرار خواهد گرفت. علاوه بر مجموعه بالا می‌توان فقط بر روی شین ۱، واحد اندازه‌گیری فازوری قرار داد و آن را رویت­پذیر کرد؛ بنابراین اگر هر ترکیبی از مجموعه زیر برای قرارگیری واحدهای اندازه‌گیری فازوری انتخاب شود، می‌توان اطمینان داشت که شین ۱ رویت­پذیر خواهد بود:
{(۲،۴) ، (۱،۵) ، (۵،۱) ، (۱،۳) ، (۶،۱) ، (۴،۱) ، (۱)}= مجموعه تخمینگرهای رویت شین ۱ (‏۳‑۱۹)
برای راحتی کار در بسته‌های تخمینگر، شین میانی نمایش داده نمی­ شود. به منظور رویت­پذیری ولتاژ هر یک از شین­های شبکه می‌توان یک چنین مجموعه ­ای از تخمینگرهای متناظر را بدست­ آورد؛ بنابراین به تعداد شین­های سیستم از این نوع مجموعه­ها خواهیم داشت که با بیرون کشیدن یک بسته از آن‌ ها می‌توان اطمینان داشت که شین مورد نظر رویت­پذیر خواهد بود. برای بدست ­آوردن کمترین تعداد واحد اندازه‌گیری فازوری به‌کاررفته در الگوریتم باید از هر مجموعه یک بسته تخمینگر بیرون کشید و این کار را به صورتی انجام داد که این بسته­ها بیش‌ترین اشتراک را داشته باشند که به کمترین تعداد واحد اندازه‌گیری فازوری خواهد انجامید.
آماده ­سازی اطلاعات ورودی الگوریتم جایابی بهینه واحد اندازه‌گیری فازوری به منظور تخمین حالت و پارامترهای سیستم به طور همزمان
این روش تقریباً مشابه روش قبل است با این تفاوت که به جای رویت­پذیری شین­ها، مسئله رویت­پذیری خطوط مطرح می­ شود. در این روش برای هر خط بسته‌های تخمینگر شین­ها طوری انتخاب می­ شود که در تمامی این بسته­ها خط مورد نظر رویت­پذیر باشد. به عنوان مثال برای رویت­پذیری خط ۱-۴ در شبکه شکل ‏۳‑۵ می‌توان بسته‌های تخمینگر را به صورت زیر بدست آورد:
­­
{(۱،۴،۵) ، (۱،۴،۲) ، (۳،۱،۴)}= مجموعه تخمینگرهای رویت خط ۱-۴ (‏۳‑۲۰)
در این بسته­ها بر روی شین­های کناری واحد اندازه‌گیری فازوری قرار خواهد گرفت. علاوه بر مجموعه بالا می‌توان فقط بر روی دو سر خط مورد نظر، واحد اندازه‌گیری فازوری قرار داد و آن را رویت‌پذیر کرد؛ بنابراین اگر هر بسته­ای از مجموعه زیر انتخاب شود می‌توان اطمینان داشت که خط ۱-۴ رویت­پذیر خواهد بود:
{(۱،۵) ، (۱،۲) ، (۳،۴) ، (۱،۴)}= مجموعه تخمینگرهای رویت خط ۱-۴ (‏۳‑۲۱)
در این بخش و بخش قبل آماده ­سازی اطلاعات بدون در نظر گرفتن شین تزریق صفر صورت گرفت. اما باید دقت داشت که این شین­ها تأثیر زیادی در تعداد واحدهای اندازه‌گیری فازوری بدست آمده در جایابی بهینه را خواهد داشت. در بخش بعدی نحوه تشکیل بسته‌های تخمینگر با توجه به شین تزریق صفر بررسی خواهد شد.
آماده ­سازی اطلاعات ورودی الگوریتم جایابی بهینه واحد اندازه‌گیری فازوری با در نظر گرفتن شین­های تزریق صفر