معادل
(۳-۷۸)
برابر با است.
در معادله فوق امید ریاضی سمت راست معادله در طول مسیر رژیم به شرط اطلاعات و می‌باشد. توجه نمایید که این رویه معادل تجمیع فقط رژیم منفرد می‌باشد و بنابراین به طور ضمنی مستقل از می‌باشد.

که امید ریاضی به صورت زیر محاسبه می‌شود:
(۳-۷۹)
و احتمالات به صورت زیر محاسبه می‌گردند:
(۳-۸۰)
i,j=1,2
مطابق ساختار، فقط به رژیم واریانس جاری وابسته است. از این رو هیچ مسئله وابستگی مسیری وجود ندارد. برای تصریح واریانس شرطی، محدودیت‌های را برای اطمینان از مثبت بودن برای همه tها درست مثل گارچ تک رژیمی تحمیل می‌نماییم(همیلتون و سوسمل، ۱۹۹۴).
۳-۳-۶ مدل ARDL
مدل‌ها با وقفه توزیعی، شکل عمومی‌تری از مباحثی است که بطور کلی بصورت ARDL(p,q) در قالب فرمول زیر می‌باشد.
(۳-۸۱)
که در آن جمله خطلا است که تمام فروض کلاسک را تامین می‌کند. برای سادگی مدل ARDL(1,1) را درنظر بگیرید:
(۳-۸۲)
مدل فوق را می‌توان با بهره گرفتن از عملگرهای وقفه به صورت زیر نوشت:
(۳-۸۳)
و می‌باشد که برای مدل ARDL(p,q) عبارتند از:
(۳-۸۴)
استفاده عمده مدل ARDL(1,1) در بررسی روابط بلندمدت آن است.
در بلندمدت (وضعیت تعادلی) متغیرها به یک وضعیت ایستا و بدون تغییر می‌رسند، لذا در تعادل (بلندمدت) روابط زیر برقرار است:
(۳-۸۵)
اگر روابط فوق را در مدل ARDL قرار دهیم، رابطه تعادلی بین X و Y به صورت زیر بدست می‌آید:
(۳-۸۶)
در بلندمدت، مقادیر جمله خطا صفر است. جمله خطا بیانگر انحراف از تعادل است و چون در بلندمدت در تعادل قرار داریم، لذا خطای تعادل یا انحراف از تعادل برابر با صفر است.
طبق روابط فوق اثر بلندمدت یا ظریب تکاثری بلندمدت برابر است با:
(۳-۸۷)
بنابراین بایستی در بلندمدت رابطه زیر برقرار باشد:
(۳-۸۸)
همچنین برای مدل ARDL(1,1) اثرات آنی و تاخیری بصورت زیر می‌باشد:
اثر آنی
اثر تاخیری
برای تحلیل بلندمدت و مقایسه تعادل‌ها، رابطه فوق مناسب است اما وقتی تعادل موجود به هم می‌خورد تا زمان برقراری تعادل جدید، متغیرها در حال تغییر می‌باشند. بنابراین تغییرات y را می‌توان ناشی از دو عامل دانست:
تغییرات y در زمان t که ناشی از تغییرات x در همان زمان است که برابر با می‌باشد.
تغییرات y در زمان t که ناشی از تصحیح خطای تعادل در دوره قبل است. به عبارتی دیگر y در زمان t به انحراف از تعادل در زمان t-1 واکنش نشان می‌دهد که برابر با است. ضریب تصحیح عدم تعادل و انحراف از تعادل در زمان t-1 است. بنابراین کل تغییرات y در زمانt برابر است با :
(۳-۸۹)
از طرف دیگر می‌دانیم که رابطه تعادلی Y و X در تعادل منجر می‌شود تا صفر شود. اما بدیهی است که معمولاً انحراف از تعادل وجود دارد و متغیرها حول مقادیر تعادلی خود در نوسان هستند و لذا رابطه تعادلی برای دوره t-1 عبارت است از:
(۳-۹۰)
بنابراین رابطه فوق بیانگر انحراف از تعادل در دوره t-1 است.
به منظور استخراج رابطه ابتدا از مدل ARDL(1,1) شروع می‌کنیم. بدین منظور طرفین را از کم کرده و و به سمت راست اضافه و کم می‌کنیم:
(۳-۹۱)
عبارت داخل کروشه برابر با است که بیانگر انحراف از تعادل در دوره t-1 می‌باشد. بیانگر واکنش Y به خطای تعادل در دوره t-1 است. اینضریب نشان‌دهنده تعدیل به سمت تعادل است. با توجه به اینکه است، لذا ضریب تعدیل است. بنابراین اگر در دوره قبل باشد، بدان معنا است که انحراف از تعادل منفی است و Y کمتر از سطح تعادلی خود می‌باشد. حال در زمان t بایستی Y افزایش یابد و به سمت مقدار تعادلی خود حرکت کند. چون عبارت داخل کروشه منفی است و ضریب نیز منفی است، لذا خواهد بود که نشان‌دهنده افزایش Y در دوره t است. این تغییرا در راستای تصحیح خطای تعادل می‌باشد. به همین دلیل این مدل را مدل تصحیح خطا (^[۱۷۳]ECM) می‌گویند.
۳-۴ جمع‌بندی
در این فصل ابتدا مروری بر روند تغییرات متغیرهای مورد مطالعه پرداخته شده است. روند آماری متغیرها نشان می‌دهد که روند نرخ ارز در دوره مورد مطالعه در سه فاز صعودی (تا خرداد ۹۲)، نزولی (اواخر سال ۹۳) و مجدداً صعودی قرار دارد. با نگاهی بر ۱۷ صنعت منتخب مورد مطالعه برای دوره زمانی ۳۱/۶/۱۳۸۸ تا ۳۱/۶/۱۳۹۳ مشاهده می‌گردد که روند کلی هر کلیه صنایع طی دوره مذکور از روند شاخص کل بورس تبعیت می‌کنند. با این وجود سرعت و شیب شاخص صنایع متفاوت می‌باشد به عنوان نمونه در فاز صعودی میزان رشد گروه محصولات فلزی از نیمه سال ۹۱ تا آذر ۹۲ در حدود ۸۸ درصد بوده و میزان رشد فراورده‌های نفتی برای دوره مشابه نزدیک به ۲۰ درصد می‌باشد. همچنین روند کوتاه‌مدت در کلیه گروه‌ها کاملا متفاوت می‌باشد. به عنوان نمونه در طی دوره مورد مطالعه شاخص صنایع قندو شکر از نوسانات بالایی در مقایسه با شاخص صنایعی نظیر سیمان برخوردار است. ادامه فصل نیز به معرفی مدل‌های مورد استفاده در تحقیق پرداخته است. این مدل‌ها عباتند از مدل ARIMA، ۶ مدل خانواده GARCH به همراه ۳ تابع توزیع احتمال نرمال، t و GED و همچنین مدل‌های زنجیره مارکوف. علاوه بر مدل‌های فوق به تحلیل رهیافت «ارزش در معرض ریسک» پرداخته و نحوه مدل‌سازی آن در قالب روش‌های پارامتریک خانواده GARCH و مدل‌های زنجیره مارکوف پرداخته شده است. در پایان بخش نیز به معرفی مدل آرچ سوئیچینگ مارکوف و مدل گارچ سوئیچینگ مارکوف پرداخته شده است.
فصل چهارم
تجزیه و تحلیل داده‌ها
۴-۱ مقدمه
در این فصل بر اساس گام‌های ذکر شده در بخش (۱-۷) فصل اول به برآورد و مدل‌سازی سری‌های زمانی بازدهی صنایع پرداخته و در نهایت پس از تعیین مدل نهایی، به اندازه‌گیری ریسک صنایع و رتبه‌بندی میزان تاثیرپذیری آنها از نوسانات نرخ ارز پرداخته می‌شود.
پس از استخراج ریسک بازدهی صنایع و رتبه‌بندی آنها بر حسب میزان تاثیرپذیری ریسک هر یک از نوسانات کوتاه‌مدت و بلندمدت در بخش پایانی فصل حاضر به معرفی یک ابزار مالی جدید در مدیریت ریسک نوسانات نرخ ارز تحت عنوان «اوراق مشارکت ارزی قابل تبدیل به سهام» پرداخته می‌شود.
۴-۲ برآورد و تجزیه و تحلیل نتایج
۴-۲-۱ گام نخست: تخمین مدل ARIMA
در ابتدا بر اساس مبانی نظری، متغیر بازدهی شاخص هر یک از صنایع استخراج شده و پس از بررسی مانایی هر یک، فرایند مدلسازی ARIMA با بهره گرفتن از مراحل سه گانه رهیافت باکس جنکینز آغاز میگردد. در این رابطه ابتدا مانایی سری زمانی متغیر بازدهی شاخص صنایع () را بررسی کرده و مرتبه انباشتگی (d) تعیین می‌شود. شایان ذکر است که در اکثر مطالعات جهت بررسی مانایی سری‌های زمانی صرفاً به آزمون دیکی‌فولر اکتفا می‌شود، با این وجود در صورت وجود همبستگی بین جملات خطا استفاده از این آماره صحیح نمی‌باشد و بایستی از آزمون فلیپس پرون استفاده شود (قنبری و رسولی، ۱۳۹۱). در واقع چنانچه فرض استقلال و هم توزیعی جملات خطا رد شود، جداول محاسبه شده توسط دیکی‌فولر قابل استفاه نمی باشد. به این دلیل فیلیپس و پرون، آزمون دیکی فولر را برای مدل‌هایی که در آنها ضرورتا  به عنوان نوفه سفید شناخته نمی‌شود، تعمیم داده‌اند (همان). علاوه‌بر این آزمون فلیپس پرون برای سری‌های زمانی که دارای روند شکست ساختاری هستند نیز مناسب ارزیابی می‌شود (مرزبان و نجاتی، ۱۳۸۹).
جدول (۴-۱) نتایج آزمون مانایی بازده شاخص صنایع را بر اساس دو آماره دیکی‌فولر تعمیم‌یافته و فلیپس پرون نشان می‌دهد.
جدول (۴-۱): آزمون مانایی بازده شاخص صنایع بر حسب آماره دیکی فولر