حال با این فرض که بردار ولتاژ فقط در فرکانس اصلی مؤلفه مثبت و منفی دارد و با فرض این که قاب مرجع با سرعت  بچرخد آنگاه داریم.

اندازه و فاز بردار ولتاژ نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود.

روابط بالا به روشنی نشان می‌دهد که در حالتی که مؤلفه توالی منفی وجود داشته باشد، نه اندازه بردار ولتاژ و نه فاز آن مقدار ثابتی ندارد. بلکه مقدار نوسانی در آن‌ ها مشاهده می‌شود. روابط بالا بیانگر این مطلب است که در وجود عدم تعادل و اعوجاج در ولتاژ روش قاب مرجع سنکرون نمی‌تواند اندازه و فاز مؤلفه توالی فاز مثبت را کشف کند.

قاب مرجع دوتایی مجزا سنکرون
در این قسمت DDSRF ، به وسیله‌ی اضافه کردن دو قاب سنکرون به ساختار قاب مرجع سنکرون، شرح داده خواهد شد. استفاده از دو قاب مرجع باعث از بین بردن اثر مؤلفه توالی منفی بر مؤلفه توالی مثبت می‌شود. این روش می‌تواند هم در شرایط عادی و هم در شرایط عدم تعادل پاسخ مناسبی دارد.
شکل (۴-۲) نشان‌دهنده مؤلفه‌ی توالی مثبت و منفی بردار ولتاژ در شرایط نامتعادلی است. در
توالی مثبت و منفی ولتاژ در حالت عدم تعادل ولتاژ
این شکل از قاب مرجع که شامل دو قاب مرجع dq⁺¹و dq^-1 است. قاب مرجع dq⁺¹ با سرعت مثبت  و زاویه‌ی  و قاب مرجع dq^-1 با سرعت مثبت  و زاویه‌ی  ، مشخص شده است.
اگر فرض شود زاویه قاب مرجع dq⁺¹ بر زاویه مؤلفه توالی مثبت منطبق است آنگاه  است. در این صورت بردار نامتعادل ولتاژ با توجه به قاب مرجع دوتایی به صورت فرمول زیر است.

که

معادلات (۴-۱۴) تا (۴-۱۶) بیان می‌کند که مقدار ثابت روی قاب‌های dq⁺¹ و dq^-1 متناظر اندازه سیگنال سینوسی V⁺¹ و V^-1 است. اما مقادیر نوسانی با زاویه  به دلیل چرخش قاب مرجع در خلاف جهت مؤلفه توالی منفی یا مؤلفه توالی مثبت است. بنابراین بجای استفاده از فیلتر می‌توان از قاب مرجع مجزای دوتایی استفاده کرد.

برای تعمیم دادن توصیف شبکه مجزا در DDSRF ،فرض کنید بردار ولتاژ متشکل از دو بردار با فرکانس‌های  و  (که  و  می‌تواند مثبت یا منفی باشد) باشد. این بردار به صورت زیر می‌تواند نوشته شود.

همچنین دو قاب مرجع چرخان  و  ، که زاویه چرخش آن‌ ها  و  است، در نظر گرفته‌شده است.  نیز از PLL بدست آمده است. اگر هماهنگ‌سازی به صورت کامل انجام‌گرفته باشد آنگاه  خواهد بود. در چنین شرایطی ولتاژ در معادله (۴-۱۷)، با توجه به قاب‌های مرجع چرخان  و  ، به صورت زیر نمایش داده می‌شود.

در معادله‌های (۴-۱۸) و (۴-۱۹) ترم اول مقدار ثابت وترم دوم و سوم مقادیر متغیر دارد. علاوه بر آن اندازه ترم متغیر در  بستگی به مقدارترم ثابت در  دارد و برعکس. بنابراین می‌توان ترم تأثیرگذار در یک معادله را با یک سلول جداکننده^[۴۸] که در شکل (۴-۳) نشان داده شده است، از بین برد.
در شکل (۴-۳) ترم های ثابت روی محورهای  ، به صورت  و  نشان داده شده است. با توجه به سلول جداکننده می‌توان با توجه به بازخورد ضربدری سلول جداکننده، مقدار ثابت اندازه مؤلفه توالی مثبت و منفی را بدست آورد. این راه‌کار به عنوان DDSRF شناخته می‌شود. شماتیک این روش در شکل (۴-۳) آمده است.
همچنین در شکل (۴-۴) فیلتر پایین گذر به صورت زیر تعریف می‌شود. با توجه به مطالب فوق به خوبی نشان داده شد که قاب مرجع سنکرون دوتایی مجزا ((DDSRF قادر به کشف مقدار اندازه توالی مثبت و منفی بردار ولتاژ، در شرایطی که سیستم دچار عدم تعادل یا اعوجاج است.

سلول جداکننده [۱۶]
شماتیک کلی DDSRF [16]

روش قاب مرجع دوتایی سنکرون بهینه شده
هنگامی که خطا اتفاق می‌افتد علاوه بر توالی مثبت توالی منفی نیز در ولتاژ ظاهر می‌شود. به همین منظور فاز حلقه بسته‌ای نظیر قاب مرجع سنکرون قادر نیست مقدار صحیح ولتاژ را کشف کند. حال آنکه در این فاز حلقه بسته توالی منفی ولتاژ به صورت نوسان روی اندازه ولتاژ ظاهر می‌شود.
بدین منظور در این مقاله از روشی به نام DDSRF که با دو قاب مرجع سنکرون که خلاف جهت همدیگر می‌چرخد، استفاده‌شده است. با توجه به اینکه اگر قاب مرجعی در جهت توالی مثبت بچرخد، در بهترین حالت محور d آن نشان‌دهنده اندازه ولتاژ و حور q آن باید صفر باشد. با چنین دیدگاهی می‌توان ساختار DDSRF را با در نظر گرفتن تابع هزینه‌ای به صورت زیر بهینه کرد.

حال می‌توان از الگوریتم AFPSO که بعداً بیان خواهد شد، فرایند بهینه‌سازی ضرایب چهار فیلتر پایین گذر با توجه به کمینه کردن تابع هدف انجام داد. با توجه به توضیحات داده‌شده شمای ODDSRF بهبود داده‌شده به صورت زیر است.
شماتیک ODDSRF-PLL
حال برای نشان دادن قابلیت ODDSRF-PLL ، این PLL را در سه حالت پرش فاز ۴۰ درجه، خطای سه فاز به زمین و خطای دو فاز به زمین آزمایش می­کنیم.
حالت اول: در این حالت در زمان ۶۰ میلی ثانیه، در ولتاژ پرش فازی به اندازه ۴۰ درجه ایجاد می­کنیم. نتایج حاصل شده بوسیله روش ODDSRF-PLL و مقایسه با PLL استفاده شده در MATLAB به صورت زیر است.

مقدار مولفه d و q اندازه ­گیری شده بوسیله­ی روش ODDSRF-PLL برای پرش فاز۴۰ درجه.

مقایسه ولتاژ اندازه ­گیری شده بوسیله­ی ODDSRF-PLL و PLLاستفاده شده در MATLAB برای حالت اول.
حالت دوم: در این حالت در زمان ۵۰ میلی ثانیه، خطای دو فاز به زمین ایجاد می­کنیم. نتایج حاصل شده بوسیله روش ODDSRF-PLL و مقایسه آن با PLL استفاده شده در MATLAB به صورت زیر است.

مقدار مولفه d و q اندازه ­گیری شده بوسیله­ی روش ODDSRF-PLL برای خطای دو فاز به زمین.

مقایسه ولتاژ اندازه ­گیری شده بوسیله­ی ODDSRF-PLL و PLLاستفاده شده در MATLAB برای حالت دوم.
حالت سوم: در این حالت در زمان ۵۰ میلی ثانیه، خطای سه فاز به زمین ایجاد می­کنیم. نتایج حاصل شده بوسیله روش ODDSRF-PLL و مقایسه آن با PLL استفاده شده در MATLAB به صورت زیر است.

مقدار مولفه d و q اندازه ­گیری شده بوسیله­ی روش ODDSRF-PLL برای خطای سه فاز به زمین.

مقایسه ولتاژ اندازه ­گیری شده بوسیله­ی ODDSRF-PLL و PLLاستفاده شده در MATLAB برای حالت سوم.