فصل چهارم- تئوری و روش حل
۴-۱- تحلیل استاتیکی
در مبحث طراحی یک سازه، تحلیل استاتیکی از اهمیت خاصی برخوردار است. در برسی سازه­ها در ابتدا با انجام یک آنالیز استاتیکی می­توان از مقاوم بودن سازه تحت بارهای ساکن و استاتیکی اطمینان حاصل نمود. در حالت­هایی که بار دینامیکی وجود دارد، نیز می­توان بار دینامیکی را به صورت بار استاتیکی معادل در نظر گرفت و صرفا با بهره گرفتن از یک آنالیز استاتیکی نقاط بحرانی را بدست آورد و یا سازه­ای مقاوم از لحاظ استاتیکی و دینامیکی طراحی نمود. در مسائل استاتیکی خطی روابط حاکم به شکل زیر است:

که در اینجا  ماتریس سختی سازه است که تابعی از شکل هندسی اجزای تشکیل دهنده و خواص مواد می­باشد،  بردار تغییر مکان گرهی،  تعداد المان­ها،  ماتریس سختی المان،  بردار نیروی عکس العمل و  بردار نیروی اعمالی می­باشد.
هنگام استفاده از روش اجزای محدود، نیروهای وارد به جسم توسط کاربر به نرم افزار داده می­ شود. مقدار تغییر شکل یا جابجایی با بهره گرفتن از معادله فوق تعیین می شود. پس از آن تنش­های وارده به جسم با بهره گرفتن از مقادیر تغییر مکان محاسبه می­ شود.
۴-۲- تعیین فرکانس­های طبیعی و شکل مودها
اثرات انعطاف پذیری سازه در معادلات حرکت به صورت عباراتی برحسب فرکانس طبیعی و شکل مود­ها و نیز جرم­های نرمالیزه بیان می­گردد. لذا جهت شبیه سازی اجزای هواپیمای الاستیک نیاز به تحلیل مودال سازه و بدست آوردن فرکانس­های طبیعی و شکل مودها می­باشد. برای این منظور روش­های گوناگونی می ­تواند مورد استفاده قرار گیرد. یکی از این روش­ها روش شکل مودهای فرضی^[۳۹] می­باشد. همچنین به منظور بدست آوردن فرکانس­های ارتعاشی سازه می­توان از روش اجزای محدود^[۴۰] استفاده نمود.

در یک سازه تحت بارگذاری اگر بخواهیم با بهره گرفتن از تئوری الاستیسیته وضعیت تنش­ها و کرنش­ها را مشخص کنیم این کار بسیار مشکل است چرا که تحلیل اینگونه مسائل مهندسی منجر به معادلات دیفرانسیلی می­ شود که حل آن­ها با روش­های ریاضی غالباً دشوار است. البته می­دانیم که حل این معادلات پاسخ دقیق این مسئله را ارائه می­دهد اما در مورد یک شکل هندسی خاص با یک بارگذاری مشخص اگر بارگذاری را تغییر دهیم نیاز به حل جدیدی خواهیم داشت که این امر موضوع را پیچیده­تر می­نماید. برای همین موضوع در مسائل مهندسی ترجیح داده می­ شود که از روش­های تقریبی عددی برای حل مسائل استفاده شود. مهمترین روش_­های حل عددی که در حل مسائل مهندسی به کار می­رود عبارت است از:

• • اجزای محدود

• • روش المان مرزی

• • روش تفاضل محدود^[۴۱]

۴-۲-۱- روش اجزای محدود
در این روش ابتدا شکل به بخش­های کوچکی به نام المان تقسیم بندی می­ شود، در این روش معادله دیفرانسیلی تقریب زده نمی­ شود بلکه جواب این معادله به صورت یک تابع شکل^[۴۲] درجه n تقریب زده می­ شود. این روش نهایتا به دستگاه معادلات خطی به صورت منجر می­ شود. که ماتریس [k] ماتریس سختی سازه و بردار A بردار جابجایی گره یا مجهولات مسئله است. بردار F بردار نیروهای خارجی وارد بر گره­های المان­ها می­باشد. با حل این دستگاه مجهولات مسئله به دست می ­آید.
۴-۲-۲- روش تفاضل محدود
در این روش برای حل معادله دیفرانسیل، یک عملگر دیفرانسیلی تقریب زده می­ شود به این ترتیب معادله دیفرانسیل تبدیل به معادله جبری می­ شود در این حالت هندسه سازه را به بخش­های کوچکی تقسیم می­کنیم، حال با سر هم کردن معادلات جبری حاکم بر این قسمت­ های کوچک یک دستگاه معادلات جبری به دست می ­آید با حل این دستگاه مجهولات مسئله به عنوان مثال جابجایی در نقاط مختلف سازه محاسبه می­ شود این روش بیشتر در ورق­ها و پوسته­ها مورد استفاده قرار می­گیرد و لازم به ذکر است که امروزه کمتر از این روش استفاده می­ شود.
۴-۲-۳- روش المان مرزی
در روش المان مرزی همانند روش اجزای محدود جواب معادله تقریب زده می­ شود ولی در اینجا بجای معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرالی خواهیم داشت که حل آن­ها به مراتب پیچیده­تر از حل معادلات دیفرانسیل است، یکی از تفاوت­های دو روش اجزای محدود و المان مرزی در این است که در روش المان مرزی تنها کافیست مرز سازه در مسائل دوبعدی و یا سطح یا رویه سازه در مسائل سه بعدی تقسیم بندی و آنالیز شود این بدان معنی است که روش المان مرزی یک بعد را کاهش می­دهد و در محاسبات بسیار موثر است.
۴-۳- تحلیل دینامیکی در نرم افزار اجزای محدود
در تحلیل دینامیکی، بارهای وارد به سازه مورد بررسی، به صورت تابع زمان و به تبع آن، پاسخ­های القایی از قبیل سرعت، تغییر مکان، نیروهای شتابی و تنش نیز به صورت زمانمند می­باشند. این مشخصه مختلف زمانی باعث پیچیده­تر شدن تحلیل دینامیکی نسبت به تحلیل استاتیکی می­ شود. سه نوع تحلیل دینامیکی در نرم افزار اجزای محدود می توان انجام داد که در ذیل توضیح داده می­شوند.
۴-۳-۱- تحلیل با بهره گرفتن از مقادیر ویژه
این روش برای تعیین رفتار ارتعاش آزاد بدون میرایی سازه بکار می­رود. نتایج تحلیل از دیدگاه مقادیر ویژه، مقدار فرکانس و شکل مود­هایی که سازه هنگام ارتعاش به آن­ها تمایل دارد را نشان می­دهد.
معادله حرکت سازه بدون اجزای میرا کننده و بارگذاری در تعریف ماتریسی به صورت زیر می­باشد:

که در این معادله  ماتریس جرم و  ماتریس سختی می­باشند. برای حل معادله فوق، جواب را به صورت هارمونیک فرض می­کنیم:

که  بردارهای ویژه و  مقدار فرکانس طبیعی می­باشد.
با جایگذاری جواب در معادله حرکت داریم :