همانطور که در این رابطه دیده می شود, بردار نرمال در جهت راس با میانگین گیری بر روی بردارهای عمود بر هر وجهی که با راس برخورد دارند محاسبه می شوند و عبارت نشان دهنده تعداد رئوس همسایگی راس می باشد.
با توجه به این مسئله که تخمین گر بیشترین شباهت^۱ و الگوریتم ویتربی^۲ در مسائل سه بعدی بسیار زمان بر هستند, برای یافتن سطح بهینه در یک فضای جستجوی مشخص, از جستجوی شبه تصادفی تکرار شونده^۳ استفاده می شود. برای ایجاد فضای جستجو از یک شبکه سه بعدی گسسته و یک تولید کننده عدد شبه تصادفی استفاده می شود[۳۷,۳۶] و مسئله یافتن سطح بهینه توسط یک مدل مخفی مارکوف^۴ مدل می شود.

همانطور که در شکل ۴-۴ دیده می شود, سطح فعال v با q راس و f وجه مثلثی نمایش داده می شود:
(۴-۶)
همچنین می توان با بهره گرفتن از وجه سه راس متناظر با این وجه را به این صورت تعریف کرد:
(۴-۷)
به طور مشابه , رئوس همسایگی راس به صورت نشان داده می شوند. برای عملکرد بهتر, مقادیر Z و Ω در یه جدول مرجع^۵ ذخیره می شوند.
در شکل ۴-۴, برای هر یک از q راس تعداد نقطه بر روی خط عمود بر این راس و با فواصل برابر تعریف می شود. فضای جستجوی بهینه برای یافتن پاسخ توسط همین شبکه مشخص می شود. احتمال اینکه
^۱ Ml Estimator
^۲Viterbi Algorithm
^۳ Iterative Quasi-Random Search
^۴Hidden Markov Model (HMM)
^۵Lookup Table
شکل ۴-۴-نمایش شبکه مثلثی و همسایگی های عمود بر هر راس در مدل سطح فعال منفصل[۱۶]
گره i متعلق به سطح v باشد توسط انرژی خارجی محاسبه و به عنوان احتمال مشاهده^۱ , مدل می شود. جهت کاهش اثر نویز, برای هر گره یک احتمال گذر , با بهره گرفتن از فاصله اقلیدسی راس از رئوس همسایگی مرتبه اول خود محاسبه می شود. شبه کد الگوریتم IQRS در الگوریتم ۱ نشان داده شده است.
سطح بهینه که با بهره گرفتن از الگوریتم IQRS مشخص شده است به عنوان سطح اندازه گیری شده در تکرار kام انتخاب می شود. در مرحله به روز رسانی برای استخراج نواحی با انحنای بالا, یک دانش پیشین غیر ایستا^۲ مورد نیاز است. در قسمت بعد به نحوه ایجاد یک دانش پیشین غیر ایستا با بهره گرفتن از نمونه گیری مجدد شبکه بر مبنای انحنا, می پردازیم.
^۱Observation Probability
^۲Non-Stationary Prior
۴-۴-مرحله دوم: تولید دانش پیشین غیر ایستا در فضای سه بعدی
۴-۴-۱-انحنا در فضای سه بعدی
نواحی با انحنای بالای سطوح (مرزها و گوشه ها) را می توان با کاهش اثر دانش پیشین و تمرکز نقاط بیشتر در اطراف این نواحی استخراج کرد. در فضای سه بعدی تعریف ثابت و یکتایی برای انحنا وجود ندارد و معمولا با بهره گرفتن از انحنای اصلی و گوسی تعریف می شود. با این وجود برای استفاده در الگوریتم DAS تعریف دقیق انحنا مورد نیاز نمی باشد و یک مقیاس از خطای مثلث سازی^۱ به جهت قرار گیری تعداد بیشتری از مثلث ها در اطراف مرزها و گوشه ها کافی می باشد. با بهره گرفتن از انطباق یک صفحه بر رئوس همسایگی درجه اول با روش حداقل مربعات, میتوان شبه انحنا را فاصله عمود راس i بر روی سطح تا صفحه تعریف کرد.
با فرض اینکه صفحه با معادله تقریبی صفحه منطبق شده بر رئوس
^۱Triangulation Error
همسایگی راس باشد با بهره گرفتن از الگوریتم حداقل مربعات برای یافتن این سطح, به این دسته معادلات خطی می رسیم:
(۴-۸)
حال فاصله عمود راس از این صفحه منطیق شده به این صورت خواهد بود:
(۴-۹)
حال با بهره گرفتن از رابطه ۴-۹ می تواند انحنا را برای تمام رئوس بدست آورد.
۴-۴-۲-نمونه برداری مجدد سطح بر مبنای انحنا
در الگوریتم DAS مرحله نمونه برداری مجدد سطح به سه دلیل انجام می شود:
۱-تولید دانش پیشین غیر ایستا مبتنی بر انحنا برا استخراج سطوح با انحنای بالا
۲-کاهش پیچیدگی محاسباتی از طریق کاهش تعداد کل رئوس سطح بوسیله کاهش رئوس در نواحی هموار
۳-حفظ ثبات عددی عملیات تغییر سطح با جلوگیری از ایجاد مثلث های ناخواسته و اضافی
شرح عملکرد الگوریتم نمونه برداری مجدد در الگوریتم ۲ نشان داده شده است. طی این الگوریتم انحنای هر راس با یک مقدار انحنای آستانه مقایسه می شود و رئوسی که دارای انحنایی بیشتر از مقدار آستانه هستند برای عمل نمونه برداری مجدد در نظر گرفته می شوند و عمل نمونه برداری مجدد با دونیم کردن بزرگترین ضلع وجه و اضافه کردن راس در آن نقطه انجام می پذیرد.
بعد از عمل نمونه برداری مجدد, وجوه مثلثی ایجاد شده مجددا بررسی می شود و مثلث هایی که نسبت بلتدترین ضلع به کوتاه ترین ضلعشان برابر حد آستانه و نسبت بلتدترین ضلع به دومین ضلع بلندشان بین دو حد آستانه و است جزء دسته مثلث های بلند دسته بندی می شوند. همچنین مثلث های دیگری که جزء مثلث های بلند نیستن و طول بلندترین ظلعشان از حد آستانه بزرگتر می باشد جزء مثلث های پهن گروه بندی می شوند. به دلیل بزرگی هر دو دسته مثلث, وجود اینگونه مثلث ها در مدل فابل تغییر شکل ممکن است مدل را به سمت حالت ناپایدار سوق دهند. برای رفع این مشکل باید با بهره گرفتن از شکستن و بستن^۱ مثلث ها آنها را بازیابی کرد. روند شکستن و بستن مثلث های بلند و پهن به ترتیب در الگوریتم های ۳ و ۴ توضیح داده شده است. برای مثلث های بلند, دو راس در میانه دو ضلع بلند آنها ایجاد شده و این دو راس به یکدیگر متصل می شود. در مورد مثلث های پهن, یک راس در میانه بزرگترین ضلع ایجاد شده و راس روبرو به این ضلع متصل می شود. عملکرد این دو الگوریم به ترتیب در تصاویر ۴-۵ و ۴-۶ نشان داده شده است.
^۱Splitting and Closing
شکل ۴-۵-نمایش نمونه برداری از مثلث بلند.(a)مثلث بلند.(b) نمونه برداری.© نمونه برداری در حالت کلی.[۱۶]
شکل ۴-۶-نمایش نمونه برداری از مثلث پهن.(a)مثلث پهن.(b) نمونه برداری.© نمونه برداری در حالت کلی.[۱۶]
در نهایت یک تصحیح نهایی روی مثلث های بلند و پهن انجام می گیرد. باید توجه داشت که کاهش تعداد رئوس عملی بسیار سخت می باشد. از این رو الگوریتم DAS با تعداد کم و مناسبی از رئوس الگوریتم را آغاز می کند و با ادامه الگوریتم نقاط مورد نیاز به رئوس اضافه می شود و هیچ راسی نیز حذف نخواهد شد.
۴-۵-مرحله سوم: تخمین آماری
در واقع رئوس سطح در مدل سطوح فعال را می توان به تنهایی از طریق روش IQRS مشابه روش ویتربی مشخص کرد. با این وجود تاثیر شکل اولیه پیچیده و آمار نویز به طور کامل لحاظ نمی شود. از آنجاییکه مدل اولیه و مدل اندازه گیری برای همگرایی دقیق و مناسب سطح فعال در حضور نویز, مورد نیاز است وجود یک مرحله بیزین^۱ لازم است. رئوس دقیق (e) و اندازه گیری شده (m) سطح را به صورت زیر می توان نشان داد:
(۴-۱۰)
که در آن , , و می باشد. تخمین گر حداقل مربعات بیزین خطی را می توان به صورت زیر فرمول بندی کرد:
(۴-۱۱)
روابطی مشابه رابطه فوق برای Y و Z نیز می توان نوشت. ماتریس عدم اطمینان اندازه گیری یک ماتریس قطری است که هر المان قطر آن که واریانس نویز را نشان میدهد, به صورت تجربی با یک پنجره محلی^۲ محاسبه می شود. هم چنین الگوریتم DAS از یک جریمه مرتبه دوم به عنوان دانش پیشین بهره می برد. با توجه به اینکه ماتریس های و ماتریس پراکنده^۳ هستند در نتیجه نیز یک ماتریس پراکنده خواهد بود . در نتیجه معادله ۴-۱۱ به طور مناسبی از طریق روش های ضمنی تکرار شونده قابل حل می باشد. روش پیشنهادی الگوریتم DAS برای حل این معادله استفاده از گرادیان مزدوج برای حل سیستم خطی است:
(۴-۱۱)
با توجه به ساختار این روش حل, نیازی به ذخیره صریح ماتریس های R و Q حتی در حالت پراکنده نیست.
^۱Bayesian
^۲Local Window
^۳ Sparse Matrix