که ضرایب وزنی و N تعداد کل گرهها در دامنهی مورد نظر است. معادلهی(۲.۲) معادلهی مربعات دیفرانسیلی خوانده میشود. باید توجه داشت که ضرایب وزنی بسته به موقعیت نقطهی xi متفاوت است. کلید تقریب DQM تعیین ضرایب وزنی مذکور است در ادامه نحوهی تعیین ضرایب وزنی آورده شده است.
۴.۲- محاسبهی ضرایب وزنی مشتق مرتبهی اول:
۱.۴.۲- تقریب بلمن:
بلمن و همکاران دو تقریب را برای محاسبهی ضرایب وزنی در معادلهی (۲.۲) ارائه کردند. هر یک از این تقریبها بر پایهی استفاده از تابع آزمونها متفاوتی بوده است.
۱.۱.۴.۲- تقریب اول بلمن:
در این تقریب از تابع آزمون زیر استفاده شده است:
| (۳.۲) |
معادلهی (۳.۲) N، تابع آزمون دارد. برای ضرایب وزنی در معادلهی (۲.۲)، i وj از ۱ تا N انتخاب میشوند. بنابراین تعداد کل ضرایب وزنی N*N میباشد. برای بدست آوردن این ضرایب وزنی N تابع آزمون میبایست بر N گرهی ، ، … و اعمال شوند. در نتیجه N*N معادلهی جبری برای تعیین ها بدست میآید.
| (۴.۲) |
بلمن و همکاران ]۹۷[ اثبات کردند که معادلهی (۴.۲) جوابی یکتا دارد. متاسفانه، وقتی که N بزرگ انتخاب شود ماتریس آن بدوضع شده و محاسبهی معکوس ماتریس بسیار مشکل میگردد. در عمل مقدار N را از ۱۳ واحد نمیتوان بیشتر کرد.
۲.۱.۴.۲- تقریب دوم بلمن:
این تقریب شبیه به تقریب اول بلمن است اما تابع آزمون آن متفاوت است.
| (۵.۲) |
که در آن تابع چندجملهای لژاندر از مرتبهی N است و مشتق مرتبهی اول است. با انتخاب ها به عنوان ریشه های چندجملهی لژاندر انتقال یافته و با بهره گرفتن از معادلهی (۵.۲) بر روی N گرهی ، ، … و بلمن و همکاران ]۹۷[ موفق به یافتن رابطه جبری سادهی در محاسبهی ضرایب وزنی شدهاند.
| (۶.۲) |
با بهره گرفتن از رابطه (۶.۲) محاسبهی ضرایب وزنی کار سادهی است. اما این روش به انعطافپذیری تقریب اول نیست بخاطر اینکه مختصات گرهها در این تقریب را نمیتوان آزادانه انتخاب کرد. بلکه مختصات این نقاط میبایست ریشه های چند جملهی لژاندر انتخاب شوند. بنابراین این روش نسبت به روش اول کمتر مورد استقبال قرار گرفت.
۲.۴.۲- تقریب کلی شو:
تقریب کلی شو الهام گرفته شده از تقریب بلمن است. یکی از مشکلات این روش بد وضعیت بودن ماتریس ضرایب وزنی با افزایش تعداد نقاط و افزایش مرتبه مشتقات و همچنین نبود رابطهای صریح برای محاسبهی ماتریس ضرایب مشتقات بالاتر میباشدکه شو ]۱۱۹[ با ارائه روش زیر بر این مشکلات فایق آمد و موفق به ارائه روش صریحی برای بدست آوردن ضرایب مرتبهی بالاتر شد.
| (۷.۲) |
