۳‑۹
رابطه بالا برای سیستمی با دو متغیر حالت داده شده است. در حالت کلیتر، برای سیستمهایی که دارای چندین متغیر حالت باشند؛ رابطه زیر را خواهیم داشت [۲۰]:
۳‑۱۰
برای درک بهتر رابطه بالا، فرض کنید که مدل غیرخطی سیستمی، با سه متغیر حالت، بصورت زیر باشد:
۳‑۱۱
ماتریس سیستم آن با توجه به رابطه (۳‑۹) به شکل زیر خواهد شد:
۳‑۱۲
مشاهده می شود که خط اول ماتریس بالا با توجه به رابطه ۳‑۱۰ شکل گرفته است. خطوط دوم و سوم نیز به ترتیب با بهره گرفتن از روابط (۳‑۱۰) و (۳‑۵) شکل گرفتهاند. دلیل استفاده از رابطه عمومی (۳‑۱۰) در این است که از بینهایت حالت ممکن ماتریس سیستم وابسته به حالت، تنها تعداد محدودی از آنها منجر به کنترل پذیر شدن مدل میشوند. اگر ماتریس سیستم اثر هر یک از متغیرهای حالت موجود را در خود داشته باشد ؛ این اثر میتواند باعث افزایش دترمینان ماتریس کنترلپذیری و در نتیجه افزایش کنترلپذیری سیستم بشود. بنابر این با بهره گرفتن از رابطه مذکور به کنترلپذیری نزدیکتر میشویم. دقت شود که ممکن است علیرغم کنترل پذیر بودن مدل، پاسخی نیمه بهینه به ما داده شود . تاکنون الگوریتم مدونی که منجر به یافتن ضرایب ای که منجر به بهینه شدن پاسخ مدل بشود ارائه نشده است. در مورد ماتریس کنترلپذیری برای ماتریسهای سیستم وابسته به حالت باید گفت که باید جفت ماتریسهای نقطه به نقطه[۷۳] چک بشوند. این آزمون کنترلپذیری مختص طراحی کنترل کننده های SDRE میباشد و با آزمونهای پیچیده عمومی کنترلپذیری غیرخطی، که برمبنای جبر لی[۷۴] است متفاوت است، تفاوت دارد [۲۷]. این بینهایت حالت ممکن در انتخاب ماتریسهای سیستم وابسته به حالت، یکی از برتریهای کنترل کننده های SDRE میباشد. دلیل آن هم در این است که امکان داشتن چندین ماتریس سیستم باعث افزایش درجه آزادی این دسته از کنترل کنندهها می شود.
تنظیمکننده های بهینه غیرخطی
بااعمال فرایند خطیسازی توسعه یافته در مدل افاین با در نظر گرفتن اغتشاش باد خواهیم داشت:
۳‑۱۳
همانطوریکه گفته شد؛ برای حل مسالهی کنترل تبهینهی غیرخطی، آن را به صورت معادلات خطی با ضرایب وابسته به حالت در نظر میگیریم. لذا روش حل مساله، همانند روش LQR برای سیستمهای خطی میباشد. پس به همان طریق LQR به حل مسئله کنترل بهینه غیرخطی خواهیم پرداخت[۲۸].
مسئهی کنترل تنظیمکننده های بهینه غیرخطی افق محدودی را در نظر میگیریم. سیستم موجود در این مسئله را کنترل پذیر، خودکار[۷۵] و غیرخطی (در متغییرهای حالت) تعریف مینماییم.با توجه به رابطه مذکور، بردار حالت و زمان میباشند؛ که در آن نگاشت توابع B و f ، به ترتیب برابر با و میباشند.
در ضمن میباشد. مبدا x=0 بدون از دست دادن هرگونه عمومیت، به صورت نقطهی تعادلی میباشد که در آن f(0)=0 است. دقت شود که این شرط استفاده از کنترل کننده SDRE میباشد. در این طرز بیان به یک تابعی[۷۶]، که معیاری برای کارایی میباشد، نیاز داریم. در نتیجه هدف ما، کمینه کردن این تابعی در زمانی محدود خواهد بود. این تابعی در زیر آمده است:
۳‑۱۴
