‏۳‑۹

‏‏
رابطه­ بالا برای سیستمی با دو متغیر حالت داده شده است. در حالت کلی­تر، برای سیستم­هایی که دارای چندین متغیر حالت باشند؛ رابطه­ زیر را خواهیم داشت [۲۰]:

‏۳‑۱۰

برای درک بهتر رابطه­ بالا، فرض کنید که مدل غیرخطی سیستمی، با سه متغیر حالت، بصورت زیر باشد:

‏۳‑۱۱

ماتریس سیستم آن با توجه به رابطه­ (‏۳‑۹) به شکل زیر خواهد شد:

‏۳‑۱۲

مشاهده می­ شود که خط اول ماتریس بالا با توجه به رابطه­ ‏۳‑۱۰ شکل گرفته است. خطوط دوم و سوم نیز به ترتیب با بهره گرفتن از روابط (‏۳‑۱۰) و (‏۳‑۵) شکل گرفته­اند. دلیل استفاده از رابطه­ عمومی (‏۳‑۱۰) در این است که از بی­نهایت حالت ممکن ماتریس سیستم وابسته به حالت، تنها تعداد محدودی از آنها منجر به کنترل پذیر شدن مدل می­شوند. اگر ماتریس سیستم اثر هر یک از متغیرهای حالت موجود را در خود داشته باشد ؛ این اثر میتواند باعث افزایش دترمینان ماتریس کنترل­پذیری و در نتیجه افزایش کنترل­پذیری سیستم بشود. بنابر این با بهره گرفتن از رابطه­ مذکور به کنترل­پذیری نزدیک­تر می­شویم. دقت شود که ممکن است علی­رغم کنترل پذیر بودن مدل، پاسخی نیمه بهینه به ما داده شود . تاکنون الگوریتم مدونی که منجر به یافتن ضرایب  ای که منجر به بهینه شدن پاسخ مدل بشود ارائه نشده است. در مورد ماتریس کنترل­پذیری برای ماتریس­های سیستم وابسته به حالت باید گفت که باید جفت ماتریس­های  نقطه به نقطه^[۷۳] چک بشوند. این آزمون کنترل­پذیری مختص طراحی کنترل­ کننده­ های SDRE می­باشد و با آزمون­های پیچیده­ عمومی کنترل­پذیری غیرخطی، که برمبنای جبر لی^[۷۴] است متفاوت است، تفاوت دارد [۲۷]. این بی­نهایت حالت ممکن در انتخاب ماتریس­های سیستم وابسته به حالت، یکی از برتری­های کنترل­ کننده­ های SDRE می­باشد. دلیل آن هم در این است که امکان داشتن چندین ماتریس سیستم باعث افزایش درجه­ آزادی این دسته از کنترل­ کننده­ها می­ شود.
تنظیم­کننده­ های بهینه غیرخطی
بااعمال فرایند خطی­سازی توسعه یافته در مدل افاین با در نظر گرفتن اغتشاش باد خواهیم داشت:

‏۳‑۱۳

همانطوریکه گفته شد؛ برای حل مساله­ی کنترل تبهینه­ی غیرخطی، آن را به صورت معادلات خطی با ضرایب وابسته به حالت در نظر می­گیریم. لذا روش حل مساله، همانند روش LQR برای سیستم­های خطی می­باشد. پس به همان طریق LQR به حل مسئله­ کنترل بهینه­ غیرخطی خواهیم پرداخت[۲۸].
مسئه­ی کنترل تنظیم­کننده­ های بهینه­ غیرخطی افق محدودی را در نظر می­گیریم. سیستم موجود در این مسئله را کنترل پذیر، خودکار^[۷۵] و غیرخطی (در متغییرهای حالت) تعریف می­نماییم.با توجه به رابطه­ مذکور، بردار حالت  و زمان  می­باشند؛ که در آن نگاشت توابع B و f ، به ترتیب برابر با  و  می­باشند.
در ضمن  می­باشد. مبدا x=0 بدون از دست دادن هرگونه عمومیت، به صورت نقطه­­ی تعادلی می­باشد که در آن f(0)=0 است. دقت شود که این شرط استفاده از کنترل­ کننده­ SDRE می­باشد. در این طرز بیان به یک تابعی^[۷۶]، که معیاری برای کارایی می­باشد، نیاز داریم. در نتیجه هدف ما، کمینه کردن این تابعی در زمانی محدود خواهد بود. این تابعی در زیر آمده است:

‏۳‑۱۴