که  تابعی است که ریسک را اندازه ­گیری می­ کند.  امکان­ پذیر بودن متغیر  و  را مشخص می­ کند و پارامتر  یک فاکتور وزنی برای نشان دادن مصالحه بین سود مورد انتظار و ریسک­گریزی است. اگر  باشد، از عبارت ریسک در تابع هدف صرفنطر می­ شود و مسئله­ نهایی معادل یک مسئله­ بدون ریسک است. اگر  ، عبارت سود مورد انتظار با توجه به عبارت ریسک دارای اهمیت کمتری می­باشد.

می­توان ریسک پیش­روی تصمیم­گیرنده را در فرمول­نویسی مسئله به این صورت محدود کرد:

(۲-۱۹)

Subject to:

حداکثر ریسکی را نشان می­دهد که تصمیم­گیرنده با آن مواجه می­ شود.
جواب­های بهینه­ به دست آمده از حل مسائل (۲-۱۸) و (۲-۱۹) به مقدار پارامترهای  وابسته است. بنابراین، می­توان با حل این مسائل به ازاء مقادیر مختلف  به حدود مؤثری دست یافت. شکل (۲-۹) مثالی از حد مؤثر برای مسئله­ (۲-۱۸) را نشان می­دهد. حدود مؤثر ابزارهایی هستند که تصمیم­گیرندگان از آن­ها برای تحقق مصالحه بین سود مورد انتظار و ریسک استفاده می­ کند.

اندازه ­گیری ریسک

ریسک به روش­های مختلفی انداره­گیری می­ شود:

• احتمال کمبود^[۳۴]:

احتمال کمبود،  ، برابر است با احتمال اینکه سود کمتر از یک مقدار ثابت  باشد. از لحاظ ریاضی احتمال کمبود به این صورت مشخص می­ شود:

(۲-۲۰)

توزیع سود را نشان می­دهد. به منظور کاهش ریسک پیش­روی تصمیم­گیرنده، احتمال کمبود سود باید تا حد ممکن کم باشد.
شکل (۲-۹): مثالی از حد مؤثر]۱۲[
احتمال کمبود را می­توان به صورت زیر در مسئله­ بدون ریسک (۲-۱۷) گنجاند:

(۲-۲۱)

Subject to:

متغیر باینری است که اگر سود در سناریوی  بزرگتر از  باشد برابر ۱ و در غیر این صورت برابر ۰ است. پارامتر M ثابتی با مقدار بزرگ است. عیب احتمال کمبود این است که توضیحی در مورد توزیع سود خارج از محدوده­  نمی­دهد.

• کمبود مورد انتظار^[۳۵]:

کمبود مورد انتظار،  ، سود مورد انتظار در سناریوهایی است که سود آن­ها از یک مقدار ثابت  کمتر باشد. کمبود مورد انتظار به این صورت تعریف می­ شود: