۴-۴-۱- مقدمه
یکی از معروف‏ترین و پرکاربرد ترین روش­های کنترل مدل پیش­بین، روش کنترل پیش­بین تعمیم یافته است که هم در صنعت و هم در دانشگاه­ها بسیار پرطرفدار است [۴۸، ۴۹]. این روش در بسیاری از کاربردهای صنعتی با موفقیت اعمال شده است که عملکرد مناسبی در جهات مختلف کنترلی دارد. این روش می‏تواند مسائل کنترلی مختلف را برای محدوده وسیعی از فرآیندها با تعداد متغیرهای مشخص، که با بهره گرفتن از اطلاعات اولیه فرایند و اهداف کنترلی مشخص می­ شود، حل کند. ایده اصلی GPC مانند بقیه روش‏های کنترل مدل پیش بین محاسبه تعدادی از سیگنال­های کنترلی آینده است طوری که تابع هزینه تعیین شده در افق پیش بین تعریف شده کمینه گردد. شاخصی که باید بهینه شود اختلاف خروجی پیش‏بینی شده فرایند از مقادیر مرجع پیش بینی در افق تعیین شده و تابع مرتبه دومی از انرژی سیگنال کنترل می‏باشد. GPC برای فرآیندهای ناپایدار و غیرمینمم فاز نیز می ­تواند به کار رود [۴۸].

۴-۴-۲- فرمول بندی کنترل پیش بین تعمیم یافته
مطالب این بخش از مرجع [۴۸] آورده شده است. اکثر فرآیندهای تک متغیره پس از خطی‏سازی حول یک نقطه کار مشخص می­توانند به صورت زیر توصیف شوند:
(۴-۲)
در این مدل سیگنال کنترل، دنباله خروجی و نویز سفید با میانگین صفر فرایند می‏باشد. چند جمله ای های A، B، C عبارتند از:
هم­چنین d زمان مرده سیستم می­باشد. این مدل با عنوان مدل CARIMA شناخته می‏شود (Controller Auto Regressive Moving Average). در مرجع [۳۳] ذکر شده است که برای بسیاری از کاربرد های صنعتی که دارای اغتشاش غیرایستا هستند این مدل به همراه انتگرال­گیر با عنوان مدل CARIMA مناسبی است که به صورت زیر توصیف می­ شود:
(۴-۳)
که
(۴-۵)
برای راحتی چند جمله ای C برابر با ۱ در نظر گرفته می‏شود، اگر چند جمله ای C بتواند به تعداد جملات مشخصی محدود شود می‏تواند در چند جمله های A و B ادغام شود.
تابع هزینه در این روش به صورت زیر فرض می‏شود:
(۴-۶)
که در آن مقدار بهینه خروجی پیش بینی شده سیستم برای j قدم جلوتر برای داده ­ها تا زمان t می باشد. و مقدار کمینه و بیشینه افق­های هزینه و نیز افق کنترل، و دنباله وزنی و مسیر مرجع سیستم در زمان آینده می­باشد. هدف پیش بینی سیگنال­های کنترل آینده به شکلی است که خروجی آینده سیستم همواره نزدیک بماند. این عمل با کمینه کردن تابع هزینه انجام می‏گیرد.
برای بهینه کردن تابع هزینه باید مقادیر بهینه خروجی فرایند برای و محاسبه شوند. برای این منظور از رابطه Diophontine زیر استفاده می‏شود:
(۴-۷)
(۴-۸)
چندجمله­ای­های و به صورت یکتا با درجه j-1 و به ترتیب تعریف می‏شوند. اگر طرفین (۴-۳) در ضرب شود با در نظر گرفتن رابطه (۴-۷) خواهیم داشت:
که می ­تواند به صورت زیر بازنویسی شود:
(۴-۹)
از آنجا که درجه چندجمله ای برابر با j-1 است رابطه نویز در (۴-۹) همگی مربوط به زمان آینده هستند. بهترین خروجی پیش بینی برابر خواهد بود با
(۴-۱۰)
که در آن
(۴-۱۱)
برای حل مسئله GPC مجموعه ­ای از سیگنال­های کنترل برای بهینه کردن عبارت (۴-۶) محاسبه می‏شوند. از آن جا که سیستم با زمان مرده d در نظر گرفته شده است خروجی سیستم بعد از d+1 زمان نمونه توسط ورودی در زمان t، (u(t))، تحریک می­ شود. با تعاریف ، و و در نظر گرفتن خروجی بهینه پیش بینی شده برای j قدم جلوتر داریم
(۴-۱۲)
که می ­تواند به صورت فشرده زیر نوشته شود:
(۴-۱۳)
که در آن داریم
(۴-۱۴)
(۴-۱۵)
(۴-۱۶)
(۴-۱۷)
(۴-۱۸)
دو جمله آخر (۴-۱۰) تنها به مقادیر گذشته بستگی دارد و می­توان آن­ها را به صورت f گروه بندی نمود.
(۴-۱۹)
اگر تمام شرایط اولیه صفر باشند پاسخ آزاد f نیز صفر خواهد بود. اگر پله واحد به در زمان t به سیستم اعمال شود، داریم
, , … ,
دنباله خروجی سیستم برابر با ستون اول ماتریس G خواهد بود که ستون اول ماتریس G برابر با پاسخ پله سیستم خواهد بود. پاسخ آزاد به صورت برگشتی به صورت زیر محاسبه می شود:
(۴-۲۰)
با در نظر گرفتن و برای داریم:
(۴-۲۱)