كه T يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني از R به است ( هر دو كاملاً مثبت و يكاني هستند). بنابراين . پس به ازاي همه ها.
از طرفي که پس . چون كه تابع با تعريف يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني است. لذا يك تابع پيوسته است. چرا كه اگر فرض كنيم U يك همسايگي اطراف باشد و موجود باشد كه براي هر آن‌گاه چون :
.
پس وقتي به دلیل پیوستگی ، .
از طرفی و بسته، لذا پس در نتیجه . ولی از انجایی که لذا يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني است به طوري كه :
پس در نتیجه .
بر عكس فرض كنيم باید ثابت كنيم. چون لذا نگاشت موجود است که يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني است به طوري كه :
چون بنابراين طبق گزاره 1-4-3 (نمايش اشتاين اسپرينگ) :
جايي كه يك *- همومورفيسم يكاني و K يك فضاي هيلبرت است و V يك طولپا است. (بدون از دست دادن كليت مطلب فرض مي‌كنيم اين نمايش، مينمال نيز است). از طرفي به طوری كه . چون اولاً طبق] 9[، صفحه 427 ،پاراگراف قبل از لم 6-6-2، وقتی مجموعه ی همه ی عملگرهای عضو باشد که جمع مستقیم کپی از (وقتی جبر فون نویمان روی فضای هیلبرت عمل می کند)_-امین جمع مستقیم با خودش_است یعنی همان ،جبر فون نویمان ماتریسی شامل ماتریس های با درایه های در B است و دوماً طبق] 9[ صفحه 429 پاراگراف قبل از لم 6-6-3 و طبق این فرض که می توان ماتریس های یکه و ، را که درایه های واقع در سطر ام و ستون ام ان ها 1 و بقیه درایه ها صفر هستند، در انتخاب کرد به طوری که خانواده ی دارای خواص زیر است :
١)
به این خانواده، یک دستگاه خود الحاق می گوییم.
اکنون طبق ] 9[ لم 6-6-2، چون یک جبر فون نویمان است که روی فضای هیلبرت عمل می کند و جبر به وجود امده از دستگاه خود الحاق است لذا شامل همه ی ان عناصر می باشد که با تمام ها (یعنی با تمام عناصر ) جا بجا می شود. بنا بر این یک زیر جبر از شامل همه ی عناصری از است که با عناصر مذکور جا بجا می شوند. لذا، با تعریف زیر ،
یک *-ایزومورفیسم از به است در نتیجه .
از آنجايي كه بنابراين نمايش از B به روي فضاي هيلبرت H وجود دارد به طوري كه و هم ارز يكاني است به طوري كه :
چون، يك نگاشت يكاني كاملاً مثبت و در نتیجه يك نگاشت يكاني كاملاً مثبت است لذا طبق نمايش اشتاين اسپرينگ فضاي هيلبرت H موجود است به طوري كه :
يك نمايش (*- همومورفيسم)است :
يك طولپا است :
اما طبق تعريف1-2-6 چون يك *-همومورفيسم است، لذا
نيز يك *-همومورفيسم است و طبق مطلبي در ادامه تعريف 1-2-6 نگاشت يك ايزمورفيسم است پس (با تعريف وقتي (. در واقع چون یک نگاشت یکانی کا ملاً مثبت است طبق قضیه ی اشتاین اسپرینگ نمایش و طولپای موجودند که . همچنین . در نتیجه یك نگاشت يكاني كاملاً مثبت است و توابع نمايش‌هاي روي R هستند و توابع و
، طولپا می باشد. لذا طبق گزاره 1-4-5 تابع يكاني وجود دارد كه . يعني با هم ارز يكاني است و . بنابراين . (در اين جا منظور از همان است).
همچنين براي هر و اين تعريف، خوش تعريف است. چون اگر فرض كنيم به طوري كه آن‌گاه براي هرو ای که به دلیل خوش تعریفی ، در نتیجه لذا :
اکنون فرض كنيم برای ، بردارهاي پايه استاندارد در باشند و قرار مي‌دهيم . فرض مي‌كنيم درايه‌هاي y باشند كه
ان گاه :
( 3-1)
ابتدا فرض كنيم نمايشي تحويل ناپذير است در نتيجه نيز تحويل ناپذير است. چرا كه اگر فرض كنيم وجود دارد به طوريكه چون يك نمايش است و در نتیجه يك نمايش است و يك نمايش تحويل پذير يعني :
که این مطلب با تحويل ناپذيري تناقض دارد. پس تحويل ناپذير است.
همچنين اگر يك بردار يكه باشد آن‌گاه طبق قضيه تعدي كدیسون (قضيه 3-1-1)، مي‌توان گفت كه عملگر يكاني u در موجود است به طوري كه :
به طوری كه يك برداريكه است كه مؤلفه j ام آن و مولفه های ديگر آن مي‌باشند. اکنون رابطه( 3-1) را به صورت زير مي‌توان نوشت :
( 3-2 )
درايه‌هاي در سطر i ام و ستون j ام بوده وw يك حالت روي B با تعريف زير است :
در رابطه (3-2) علت تساوی به این صورت است که :
بنابراين چون پس برابر است با و در نتيجه طبق تعريف داريم :
(0,…,0,
اکنون نشان مي دهيم كه يك حالت است. چون روي خوش تعريف است پس نيز خويش تعريف مي‌باشد از طرفي اگر بتوانيم نشان دهيم يك تابعك خطي كراندار است كه آن‌گاه طبق ، گزارة 2-3-4، يك حالت است.
فرض كنيم يك همسايگي اطراف در باشد كه به ازاي هر
لذا :
اما چون يك *- همومورنيسم است، طبق ، گزارة 8-1-4، نيز پيوسته است (در اين همسايگي) در این صورت پس بنابراين :
در نتيجه :
لذا پس پيوسته است. از طرفي خطي است چون :
هم چنين :
اکنون با مشخص كردن تابع (القا شده توسط) در نتیجه :
لذا نتیجه می شود که :
از طرفي :
بنابراين . پس كافي است نشان دهيم كه چون آن‌گاه و حكم ثابت مي‌شود.
