جدول ۴-۸ یافته های مربوط به سؤال ۷

نوع پاسخ ارائه شده

فراوانی

درصد فراوانی

رسم صحیح شکل

۸۰

۳۲

دلیل تساوی

۲

۸/۰

اثبات برابری

۲

۸/۰

غلط

۱۷۹

۶/۷۱

بی پاسخ

۶۹

۶/۲۷

نمودار ۴-۷ درصد ‌پاسخ‌گویی‌ به سؤال ۷

۴-۴ جمع بندی

همان‌ طور که نشان داده شد از یافته های حاصل از تجزیه و تحلیل داده های پژوهش ، این نتیجه حاصل شد که عملکرد دانش‌آموزان پایه هفتم از درک حالت‌های همنهشتی نسبت به اثبات همنهشتی و کاربرد همنهشتی بهتر است و ضعیف‌ترین عملکرد دانش‌آموزان در کاربرد همنهشتی است. همچنین، نشان داده شد که بسیاری از دانش‌آموزان ‌در مورد اثبات همنهشتی خطاهای متعددی دارند. نتایج نشان می‌دهد که دانش‌آموزان در درک و نوشتن اثبات به صورت رسمی مشکل جدی دارند و برای آن‌ ها مفهومی ندارد.

فصل پنجم

نتیجه‌گیری، بحث وپیشنهادها

۵-۱ مقدمه

در این فصل، ابتدا به هریک از سؤالات پژوهش پاسخ داده می شود، سپس در قسمت بحث و نتیجه‌گیری، به تفسیر نتایج به دست آمده پرداخته می شود و در نهایت، محدودیت های پژوهش و پیشنهادهایی برای پژوهش‌های بعدی عنوان می‌گردد.

۵-۲ پاسخ به سؤال های پژوهش

سؤال ۱) درک دانش‌آموزان پایه هفتم، ازحالت های تساوی دو مثلث چگونه است؟

بسیاری از دانش‌آموزان نسبت به حالت های تساوی دو مثلث تفکر همبسته دارند. ‌به این معنا که برای حل مسائل کدهایی برای خودشان قرار می‌دهند. هنگامی که در صورت سؤال یا شکل مسئله از دو زاویه و یک ضلع صحبت شده باشد بدون هیچ استدلالی بیان می‌کنند که حالت تساوی دو ضلع و زاویه ی بین است و دیگر به بین بودن این زاویه توجه نمی‌کنند، همان‌ طور که در پاسخ های سؤال یک دیده شد. مثال دیگری برای تفکر همبسته دانش آموزانی هستند که وقتی در صورت مسئله کلمه ی “روی هم” را می بینند جمع می‌کنند، وقتی چند برابر را می‌بینند ضرب می‌کنند، این تفکر موجب خطای منطقی می شود.

همان‌ طور که در پاسخ های سؤال اول دیده شد تعدادی از دانش آموزان دلیلی که برای تساوی دو مثلث آورده بودند این بود که دو مثلث را می توان با چرخاندن روی هم قرار داد. این همان چیزی است که از دانش آموزان در پایه های ۶ تا ۸ انتظار می رود درک کند و پاسخ دهد، یعنی سطح سوم ون هیلی (اثبات غیر رسمی). در واقع دانش‌آموز در تفکر اگر و آنگاه را می فهمد اما نمی تواند آن را به صورت صوری و رسمی بیان کند.

سؤال ۲) درک دانش آموزان پایه ی هفتم از استدلال تساوی دو مثلث چگونه است؟

همان‌ طور که در پاسخ سؤالات آزمون و درصد جواب های آن ها دیده شد بسیاری از دانش آموزان توانایی نوشتن حالت تساوی را داشتند اما دلیل آن را بیان نکرده بودند یا در سؤال یک فقط توانسته بودند دو مثلث همنهشت را مشخص کنند. دانش‌آموزان هیچ نیازی به استدلال و اثبات تساوی دو مثلث نمی بینند، در نظر آن‌ ها همان طور که دو مثلث را می توان روی هم قرار داد برای اثبات تساوی کافی است، این مورد در سؤال ها دیده شد که دانش آموزان گفته بودند دو مثلث را می توان با چرخاندن روی هم قرار داد پس با هم برابرهستند. این استدلال در پایه ی هفتم طبیعی است زیرا در سطوح ون هیلی هم انتظار می رود دانش‌آموزان در پایه ی شش تا هشت توانایی انجام اثبات غیر رسمی را داشته باشند و همان‌ طور که گفته شد سطوح ون هیلی سلسله مراتبی است، یعنی دانش آموزانی که یک مرحله را طی نکردند نمی توانند وارد مرحله ی بعد بشوند. دانش آموزان پایه ی هفتم هم پیش از این در کتب ریاضی خود استدلال رسمی را آموزش ندیده‌اند پس نمی توان انتظار داشت بتوانند وارد اثبات رسمی شوند و مشکلی در یادگیری آن نداشته باشند.

خطای دیگری که در پاسخ دانش آموزان مشاهده شد این بود که برای نوشتن سه دلیل تساوی گاهی تساوی دو ضلع را دو مرتبه تکرار می‌کردند، ‌در مورد زاویه هم این اتفاق افتاده بود. این نوع تفکر هم تفکر قیاسی نام دارد. دانش آموزان در هنگام تدریس معلم زمانی که موضوع را درک نمی کنند سعی می‌کنند روش معلم را حفظ کنند و در حل مسائل با مقایسه ی روش حل معلم یا یک منبع مطمئن مسئله را حل می‌کنند. در این سؤال ها هم دانش آموزان مشاهده کرده بودند که معلم برای اثبات تساوی سه خط می نویسد که هر خط برابری دو ضلع یا زاویه است. زمانی که مسئله را حل می‌کنند ممکن است نتوانند دلیل سوم را کشف کنند، پس برای اینکه شبیه به معلم و مرجع بنویسند یک تساوی را تکرار می‌کنند تا از نظر ظاهری شبیه به مرجع شود.

خطای دیگری که دیده شد این بود که تعدادی از دانش آموزان در دلایل تساوی دو مثلث در تساوی های خود دو ضلع از یک مثلث را بیان کرده بودند. این هم به دلیل تفکر قیاسی است. فقط می‌خواهد سه دلیل بنویسد که شبیه به مرجع شود اما به هیچ وجه درکی از کاری که انجام می‌دهد ندارد و برای او کاملا واضح است که دو مثلث مساوی است و نیازی به اثبات آن نمی بیند.