که ، در حقیقت اختصار بوده و ، یک ماتریس مربعی با بعد کامل (رنک کامل)
می باشد.
تئوری ۱: با فرض، ماتریس ، یک ماتریس بوده و به ازای داریم:
(۴- ۷)
که، و ، زیر فضای سیگنال در بین فرکانسی یکم می باشد. بنابراین ماتریس ، به ابعاد به شکل زیر تعریف می گردد:
(۴- ۸)
در نتیجه
الف: به ازای ، که موجب می شود، ماتریس ، از حالت فول رنک خارج گردد (مرتبه آن کاهش یابد). شایان ذکر است، ، زوایای ورود سیگنال هستند که به صورت صحیح
تخمین زده شده اند.
ب: اگر ماتریس ، با مرتبه کامل نباشد، آنگاه یک سری از زوایای ، زوایایی هستند که به نحو صحیح تخمین زده شده اند.)
اثبات: در حقیقت، تئوری فوق بیان می کند، در صورتی که یک سری از زوایای تخمین زده شده، زوایای واقعی ارسال سیگنال باشد، در این صورت ماتریس ، از حالت فول رنک خارج می گردد و بالعکس.
فرض کنیم که ، برابر با زاویه ورود سیگنال ام بوده که به نحو صحیح تخمین زده شده است و زیرفضای نویز مربوط به آن باشد، در این صورت داریم:
با توجه به اصل ۲، که در مطالب فوق به آن اشاره گردید، داریم:
(۷۸) (۴- ۹)
به ازای ، در صورتی که ، تساوی زیر برقرار خواهد بود:
در نتیجه به ازای داریم:
(۴- ۱۰)
در حقیقت، هنگامی که ، زاویه ورودی باشد که به صورت صحیح تخمین زده شده است، حداقل یکی از بردارهای به گونه ای که ( و ) بر بردار زیرفضای نویز ، عمود می گردد. در نتیجه، سطر ام ، برابر با صفر گردیده و ماتریس به شکل زیر تعریف خواهد گردید:
و ماتریس از حالت مرتبه کامل خارج می گردد. در این حالت ، معادل یکی از زوایای ورود سیگنال می گردد.
اثبات قسمت ب: فرض بر این است که، دارای مرتبه کامل نبوده و معادل هیچکدام از زوایای ورود سیگنال نباشد. با توجه به این که در ماتریس ، تعداد ستون ها از تعداد سطرها بیشتر بوده و ، یک ماتریس قطری با مرتبه کامل است، در نتیجه بردارهای سطری ماتریس زیر می بایست به صورت خطی وابسته باشد.
(۴- ۱۱)
دو حالت کلی به صورت ذیل می توان در نظر گرفت:
در حالت اول، هیچکدام از زوایا معادل زوایای ورود سیگنال نیستند و در حالت دوم تعدادی از زوایای اعمال شده در ماتریس ، معادل زوایای ورود سیگنال می باشد.
در حالت اول هیچکدام از سطرهای ماتریس ، به گونه ای که ()، معادل صفر نمی باشد. در این حالت، ماتریس های و به شکل زیر، تعریف می شوند:
که ماتریس جهت دهی به ازای زوایای ورود تخمین زده شده می باشد و ماتریس جهت دهی به ازای زوایای ورود اصلی سیگنال می باشد. با توجه به این که ، مرتبه ماتریس و به ترتیب معادل و می باشد. حاصلضرب دو ماتریس به صورت زیر خواهد بود:
بر اساس نامساوی سیلوستر، مرتبه ماتریس در محدوده زیر قرار می گیرد
که ، نشان دهنده مرتبه ماتریس می باشد. بنابراین داریم:
بر طبق نامساوی فوق، ماتریس ، دارای مرتبه کامل است. با توجه به صفر بودن بلوک ماتریس بالا سمت راست مربوط به ، ماتریس ، همواره دارای مرتبه کامل خواهد بود. در حقیقت بردارهای سطری ماتریس، به ازای کلیه ها مستقل از هم می باشند (توجه شود که تعداد ستون های ماتریس بزرگتر از تعداد سطرهای آن است). بنابراین اثبات گردید، در صورتی که ماتریس یک ماتریس منفرد[۱۰۳] باشد، حداقل یک زاویه ، وجود دارد که معادل زاویه ورود سیگنال خواهد بود. شایان ذکر است، در صورتی که ، به طور قطع، عبارت بالا صحیح می باشد.
حالت دوم: در این حالت، تنها تعدادی از قرار داده شده به جای معادل زاویه ورود سیگنال می باشد. هم چنین می بایست اشاره نمود که امکان دارد که معادل هیچ زاویه خاصی نباشد. اما به ازای (به ازای ) که در عبارت زیر صادق باشد:
(۴- ۱۲)
در این حالت می بایست، ها حداقل دارای یک سطر کاملاً مساوی صفر باشد. در نتیجه مرتبه ماتریس کاهش یافته و دیگر دارای مرتبه کامل نخواهد بود. بدون از دست رفتن شرایط کلی، فرض می کنیم که مثلاً به ازای معادل باشد. در این صورت داریم:
که ، یک بردار با المان های برابر صفر است، به جز سطر ام که برابر با ۱ می باشد، کل فضای کرنل صفر ماتریس را می توان به وسیله بردارهای پایه ایجاد نمود. اگر ماتریس یک ماتریس منفرد باشد، داریم:
(۴- ۱۳)
که مشخص کننده زیرفضای چپ کرنل می باشد. با توجه به خاصیت عمود بودن
بردارهای پایه ، می توان بیان نمود که به ازای ، یک بردار و حداقل یک زاویه ورودی وجود دارد که برابر با یکی از زوایای ورودی سیگنال ارسالی باشد. هم چنین عبارت زیر به ازای کلیه ها برقرار خواهد بود:
(۴- ۱۴)
با فرض این که باشد، در این صورت با توجه به فرمول (۴- ۱۲)، برابر با یکی دیگر از زوایای ورود مربوط به سیگنال دیگر خواهد بود. بنابراین اگر ، هیچ بردار وجود نخواهد داشت که به ازای عبارت برقرار گردد و ماتریس ، یک ماتریس غیرمنفرد خواهد بود. هم چنین به ازای برای کلیه سیگنال ارسالی، ماتریس به ازای (که بعضی از زوایای ورود سیگنال است) به یک ماتریس منفرد تبدیل می گردد.
۴-۴- توسعه الگوریتم به فضای چند بعدی
در قسمت قبل الگوریتم را برای حالت یک بعدی بررسی نمودیم. در این قسمت، الگوریتم، برای حالت کلی آرایه چندبعدی بررسی خواهد گردید. باید دقت نمود که باز هم از فرض مستقل بودن بردارهای ماتریس مانیفولا به ازای زوایای مختلف و هم چنین رعایت فاصله بین آنتن ها، به منظور جلوگیری از ایجاد تداخل فضایی[۱۰۴] سیگنال های مشابه که می بایست حتی الامکان فاصله آنتن ها به یکدیگر نزدیک باشد، استفاده می گردد.
به منظور دست یابی به جواب صحیح در روش ، می بایست به طور کلی دو شرط زیر برقرار باشد:
-
- همواره می بایست یک ماتریس انتقال به شکل زیر موجود باشد:
(۴- ۱۵)
-
- ماتریس می بایست همواره غیرمنفرد بوده مگر این که، برابر با یک یا چند زاویه ورود سیگنال باشد. شرط دوم خود دارای دو حالت می باشد:
الف: به ازای ، که، یکی از زوایای ورود سیگنال بوده، ماتریس یک ماتریس منفرد است.
ب: به ازای کلیه و ماتریس ، هرگز منفرد نمی گردد. در حقیقت، به ازای کلیه ها به جز زوایای مورد نظر، همواره یک ماتریس غیر منفرد است و هیچ گونه هشدار خطا[۱۰۵] وجود ندارد. برای یک آرایه دلخواه چندبعدی می بایست بردارهای ماتریس مانیفولا را دوباره تعریف نمود. با فرض خطی بودن آرایه، به منظور ساده تر شدن روابط می توان مقدار ضریب المان ام آرایه را به صورت زیر تعریف نمود:
(۴- ۱۶)
