- ایجاد ارتباطات با دانش ریاضی؛
- کشف یا خلق جدیدی در ریاضی؛
- نظام وار کردن عبارت‌ها در یک نظام اصل موضوعی.
۳-۴-۴٫ قلمرو پیش از اثبات
راس معتقد است که شروع استفاده از واژه‌ی «اثبات» و عبارت «این یک اثبات نیست»، نباید دیرتر از کلاس هشتم باشد، چرا که باید حساسیت ریاضی دانش‌آموزان را هرچه زودتر تقویت کرد. اما از طرف دیگر بسیار از آموزش گران معتقدند که «لازم است پیش از آن که از دانش‌آموزان بخواهیم که اثبات بنویسند، توانایی استدلال ریاضی آنها توسعه یافته باشد.» به اعتقاد آن ها، توانایی استدلال شفاهی و قضاوت کردن درباره‌ی قابل قبول بودن یک مفهوم، یا این که چرا یک رویه باید مورد استفاده قرار بگیرد و نیز توانایی نقد این ها، قدم اول راه است و اگر دانش‌آموزی این مهارت‌ها را نداشته باشد، در اثبات نیز موفق نخواهد بود.
ادوارد[۱۰] قلمرو پیش از اثبات را «راه‌های تفکر، تکلم و عمل کردن به گونه‌ای که هدف، جستجو کردن و یافتن قطعیت ریاضی تضمین شود» بیان می‌کند. او معتقد است که مهارت‌های استدلال و قضاوت کردن، دانش‌آموزان را به فعالیت‌های روزانه‌ی ریاضیاتی شان پیوند می‌دهد و پنج نوع فعالیت استدلالی زیر را به عنوان پیش نیاز اثبات بر می‌شمرد:
- درک و الگوسازی؛
- توصیف الگوها؛
- حدسیه سازی؛
- استدلال‌های استنباطی؛
- استدلال‌های استقرایی (قیاسی)
او معتقد است که کودکان، هر کدام از این نوع استدلال‌ها را از کودکی تجربه می‌کنند تا آماده‌ی اثبات می‌شوند.
اما به نظر می‌رسد قدرت نقد، استدلال و اثبات نمی‌تواند به کمک آموزش در یک درس مجزای منطقی ایجاد شود و باید در سایه‌ی تمام بخش‌های ریاضیات- و یا حتی دروس دیگر- ارائه شود. در حقیقت باید طراحی کل برنامه‌ی درسی ریاضیات مدرسه‌ای به گونه‌ای باشد که دانش‌آموزان به تفکر دقیق و نقادانه، منطقی حرف زدن و استدلال کردن تحریک شده و عادت کنند. استانداردهای NCTM نیز تأکید می‌کند که «استدلال و اثبات، باید به عنوان بخشی از تجربه‌ی ریاضی دانش‌آموزان از پیش از دبستان تا پایه‌ی دوازدهم و به صورت یک عادت ذهنی،مانند دیگر عاداتشان درآید، تا در بسیاری از زمینه‌های دیگر نیز بتوانند آن ها را توسعه داده و از آن بهره بگیرند.» مانسی معتقد است که «در سطوح ابتدایی، دانش‌آموزان باید در موقعیت‌هایی که آن ها را قادر به ساختن، اصلاح کردن و آزمودن حدس هایشان می‌سازد قرار بگیرند و این موقعیت‌ها باید تا دبیرستان که دانش‌آموزان نیاز به دانستن این دارند که چگونه ایده‌های خود را به زبان ریاضیاتی و نمادین بیان کنند، ادامه یابد. به علاوه باید نحوه‌ی استدلال کردن در بحث درباره‌ی ایده‌ها و حدس‌های همسالانشان را یاد بگیرند. آن ها باید یاد بگیرند که مثال‌های خود را توسعه بدهند و بتوانند استدلال‌های خود را در گروه به خوبی بیان کنند. در دبیرستان، باید بتوانند بحث‌هایشان را شفاف‌تر مطرح کنند و آن ها را به طور رسمی بنویسند. معلم و دانش‌آموزان باید عادت کنند که بپرسند: «چرا؟» چرا که این سئوال نقادانه برای توسعه‌ی مهارت‌های استدلال ریاضی دانش‌آموزان الزامی است.»
بسیاری از محققان معتقدند که به کمک مهارت‌های هندسی، به خوبی می‌توان توانایی استدلال دانش‌آموزان را سنجید و اصولاً ناتوانی استدلالی آن ها اغلب در این درس حس می‌شود، چرا که معمولاً اولین بار در این درس است که به طور رسمی از آن ها خواسته می‌شود یک حکم ریاضی را ثابت کنند.
بنابراین همان طور که مانسی نیز می‌گوید، به نظر می‌رسد، «آن چه در اثبات رسمی نوشتاری مهم است، درک و ریاضی ورزیدن دانش‌آموزان است که بودن مهارت‌های استدلالی ریاضی مناسب ممکن نیست و علاوه بر این، لزومی ندارد برای این که دانش‌آموزان ریاضی را درک کرده و بفهمند، قادر باشند اثبات رسمی نوشتاری بنویسند.»
۳-۴-۵٫ نظرات پیاژه و اینهلدر پیرامون توسعه‌ی مهارت استدلال هندسی در دانش‌آموزان
طبق گفته‌ی مانسی، پیاژه و اینهلدرتحقیقاتی درباره‌ی این که چطور کودکان ایده‌های هندسی خود را می‌سازند انجام دادند که نتیجه‌ی کار آن ها نشان داد که «ایده‌های هندسی در طول زمان، توسعه یافته و منسجم‌تر می‌شوند.» و سطح پیشرفت آن ها براساس سن افراد و نه براساس تکنیک‌ها یا فعالیت‌های آموزشی شان تعیین می‌شود. تحقیقات این دو نشان داد که کودکان، پیش از دبستان، قادر به بازنمایی فضای کلاس درس خود هستند و می‌توانند میان اشیا، براساس خصوصیات توپولوژیکی آن ها، تمایز قایل شوند، البته نمی‌تواند میان منحنی بودن یا مسطح بودن آن ها تفاوتی بگذارند.
۳-۴- ۶٫ نتیجه‌گیری از بحث ریاضیات
همان طور که بیان شد، تفکر نقادانه و استدلال به عنوان مهارت‌هایی ضروری برای هر فرد و نیز به عنوان پیش نیاز برای یادگیری اثبات ریاضی مطرح اند. ریاضیات و به خصوص هندسه نیز به عنوان بسترهایی مناسب جهت تقویت این مهارت‌ها معرفی شدند. اما استانداردهای NCTM تأکید می‌کند که هندسه نباید به صورت یک دیسیپلین مجزا، تنها در دبیرستان آموزش داده شود و باید در برنامه‌ی درسی تمام پایه‌ها گنجانده شود. لذا با توجه به این امور و نیز نظریاتی که مؤید این است که ایده‌های هندسی دانش‌آموزان به صورت سلسله مراتبی- براساس سن یا تجربه‌ی آموزشی افراد- رشد می‌کند، توجه به نکته‌ی اساسی زیر، ضروری به نظر می‌رسد:
معلمان ریاضی- به ویژه معلمان پایه‌های ابتدایی- باید باور کنند که مهارت‌های استدلالی و انتقادی دانش‌آموزان باید به کمک آن ها و خصوصاً در سنین پایین‌تر شکل گرفته و توسعه یابد و «باید به تفاوت‌های فردی افراد و علایق آن ها در هر زمینه توجه داشت و با در نظر گرفتن سن و معلومات پایه‌ی افراد، از آن ها انتظار اثبات و استدلال داشت» و به علاوه پذیرفت که «نوع و شکل دلیل آوردن برای یک موضوع در سنین مختلف متفاوت است و وظیفه‌ی ما معلمان ریاضی است که در هر سنی که تدریس می‌کنیم، منطق دانش‌آموزان را- هرچند اندکی ناچیز- به سمت منطقی که مورد قبول ریاضیات، عقل سلیم و جامعه است، آرام آرام هدایت کنیم» و همواره توجه داشته باشیم که، «یکی از اهداف اصلی آموزش، تربیت افراد منطقی است.» (زمانی ابیانه، ۱۳۸۶، ۳۶-۳۱)
۳- ۵٫ تفکر خلاق
«به تخیل کودکان پر و بال دهید؛ آن وقت از پرواز بلند آن ها شگفت زده خواهید شد.»
تفکر جنبه‌های خلاق و انتقادی ذهن را در بر می‌گیرد. تفکر شامل هر نوع فعالیت ذهنی است که به تدوین یا حل یک مسئله، تصمیم گیری، یا فهم مطلب کمک کند. در مجموع این یک فعالیت آگاهانه است. حل اکثر مسائل مستلزم هر دو نوع تفکر خلاق و انتقادی است. خلاقیت فقط ارائه راه حل‌هایی جدید برای رفع مشکلات نیست؛ بلکه ارائه راه حل‌های بهتر است و این مستلزم قضاوت انتقادی خواهد بود.
این سه تفکر زیر باهم در ارتباط نزدیکند:
تفکر خلاق (فرضیه سازی و استفاده از بصیرت و الهام)
تفکر انتقادی (به کارگیری زنجیره‌ی منطقی استدلال)
۳- حل مسئله «سلیمانی» در مورد کارکرد تفکر خلاق این مطلب را بیان می‌کند که: تفکر خلاق در این دو موقعیت نقش دارد: هم موقعی که به مسائل قدیمی و غیر مشابه به روشی نو بنگریم و هم موقعی که به مسائل نو و غیر مشابهی به روشی قدیمی، یعنی وقتی فرد به فکر می‌افتد چگونه آن چه را که می‌دانسته در موقعیت تازه با یک نوع کار تازه به کار گیرد؛ وقتی شخص با چیزی کاملاً متفاوت از آن چه قبلاً می‌دانسته مواجه شود، فرصتی دارد که برای حل مسئله از راه خلاق خاصی استفاده کند. دانش‌آموزان از چه شیوه‌ی تدریسی بیشتر خوششان می‌آید:
پژوهش در سطح کلاس‌های مدارس از این دیدگاه حمایت کرد که دانش‌آموزان بیشتر، در کلاس‌های با انگیزه و فعالی ظاهر می‌شوند که آن ها را به فعالیت هوشی وادارند. معلمانی را دوست دارند که بیشتر، آن ها را به فکر وامی دارند. درس‌هایی را ترجیح می‌دهند که از آن ها بخواهند تفسیر کنند، تجزیه و تحلیل کنند، اطلاعات را دستکاری کنند و یا دانش و مهارتی را که آموخته‌اند در مسائل تازه و موقعیت‌های جدید به کار ببرند.
فیلسوف «جان بوردن راولز(۲۰۰۲-۱۹۲۱)» (Gohn Rawls) از مهمترین فلاسفه‌ی قرن بیستم و حتی به تعبیر پاره‌ای اندیشمندان شاخص‌ترین چهره‌ی فلسفی سیاسی این قرن می‌باشد .
می‌گوید: «در صورت همسانی بقیه‌ی چیزها، انسان‌ها از به کار بستن قابلیت‌های ذهنی خود لذت می‌برند و هر چه این قابلیت‌ها بیشتر شکوفا شود، یا هر چه پیچیده‌تر باشد، به این لذت هم افزوده می‌شود.»
سوالات می‌توانند به گونه‌ای عمل کنند که تخیل منجر به تفکر خلاق شود، «هانکوک» در این زمینه می‌گوید: شما ترجیح می‌دهید یک در باشید یا پنجره یا سوراخی در سقف؟ چرا؟ اگر شما «رابینسون کروزوئه» بودید چگونه در جزیره‌ای دور افتاده به حیات خود ادامه می‌دادید؟ همواره حافظه‌ی خود را چنین به کار بگیرد تا تمرینی عالی برای پرورش تخیل شما باشد. تخیل برای تفکر همراه با نبوغ، لازم و ضروری است. نوابغ برای خلق افکار بزرگ و حیرت انگیز، به تخیلات خود اتکاء دارند.
به این تصویر نگاه کنید
فکر می‌کنید چه چیزی را نشان می‌دهد؟
اکثر مردم، به این سئوال، پاسخ مشخصی می‌دهند؛ ولی پاسخ‌های فراوان دیگری نیز وجود دارد.
این تصویر می‌تواند نشان دهنده‌ی یک چشم، تخم مرغِ نیمرو، توپ فوتبالِ سوراخ شده، چرخ، دستگیره‌ی در، نمای کلاه از بالا، واشر و … باشد. این احتمالات پایانی ندارد.
موارد بالا، فقط تعدادی از احتمالات بود. یقیناً شما نیز به محض این که دریابید هیچ پاسخ صحیح یا غلطی وجود ندارد، می‌توانید موارد دیگری را ذکر کنید. برای این کار فقط لازم است قوه‌ی تخیل خود را به کار اندازید.
کودکان را باید تشویق کرد تا به دنبال یافتن قوانین و روابط پدیده دهنده‌ی مقوله‌هایی باشند که ممکن است در ابتدا بی ارتباط با هم به نظر برسند.
ارتباط دادن و ترکیب رشته‌ها با هم زاییده‌ی نوعی تفکر خلاق است. فیشر موسیقی و ریاضی را با هم این چنین پیوند می‌دهد:
ارتباط نزدیکی بین موسیقی و ریاضی وجود دارد. ریتم‌های موسیقی را می‌توان نوعی الگوریتم صوت دانست. آهنگ‌سازی به نام «کلود دی باسی» (claude Debussy) چنین اظهار کرد: «الگوهای شکل و شماره بستگی دارند.»
۳- ۵- ۱٫ ارزیابی تفکر خلاق
ذهن ابزار تمرکز و توجه است. هنگامی خلاق می‌شویم که بتوانیم تمرکز و توجه خود را گوناگون و گسترده سازیم، احتمال‌هایی فراتر از اطلاعات داده شده را ببینیم و به آن ها فکر کنیم. در این قسمت نگاه می‌کنیم به یکی از آزمون‌های «تورنس» در زمینه‌ی تفکر خلاق:
۳- ۵-۲٫ آزمون نقاشی
نمونه‌ی زیر از آزمون‌های تورنس در زمینه‌ی تفکر خلاق تهیه شده است:
۱- به هر یک از دانش‌آموزان یک کاغذ A4 بدهید به گونه‌ای که در هر طرف کاغذ ۲۰ دایره به صورت ردیف‌هایی چیده شده باشند، و روی هم رفته ۴۰ دایره شوند.
۲- از آن ها بخواهید در ده دقیقه با بهره گرفتن از دایره‌ها، شکل‌های جالب و غیر عادی رسم کنند. تورنس پیشنهاد می‌کند که می‌توان از این تست برای ارزیابی آن چه او چهار ضلعِ تفکرِ خلاق می‌داند، استفاده کرد. این چهار ضلع در زیر آمده است:
بررسی تأثیر ریاضیات بر مهارت های زندگی از نگاه اندیشمندان ریاضیدان- ...
